Re: Torre e Varadarajan

From: Eugenio Bianchi <eugenio.bianchi_at_gmail.com>
Date: 19 Apr 2007 06:59:39 -0700

On 18 Apr, 18:10, Valter Moretti <vmoret..._at_hotmail.com> wrote:
> Ciao, sei il Bianchi con il quale ho discusso al congresso SIGRAV a
> settembre?
>
si sono io, ciao Valter

> Solo un commento sulla rappresentazione di Schroedinger che usi. La
> descrizione di Schroedinger in spaziotempo curvo, in generale NON
> esiste a meno che lo spaziotempo non sia stazionario e le sezioni
> spaziali non siano a t costante del tempo di Killing. Sono condizioni
> piuttosto forti. Non � chiaro come possono indebolirsi tali ipotesi,
> ma sono noti diversi controesempi (cfr due articoli di Torre e
> Varararajan).
>
> Ciao, Valter

Ricordo che a Torino ti avevo chiesto qualcosa proprio sulla
rappresentazione
di Schroedinger in spaziotempo curvo.

Giusto per uniformarci alla nomenclatura standard: generalmente in
teoria
dei campi uno chiama rappresentazione di Schroedinger quella in cui
gli
stati sono funzionali della configurazione del campo, Psi[phi]. Per
certi
problemi vale la pena usare questa rappresentazione. Cioe' ci si
guadagna
qualcosa a usarla. Lavorare in rappresentazione di Schroedinger in
teoria
dei campi, generalmente, e' difficile perche' richiede di avere sotto
controllo
la teoria dell'integrazione sullo spazio delle configurazioni phi(x),
dove x
sono coordinate sulla sezione spaziale. Tuttavia se uno e'
interessato solo
all'ordinaria teoria perturbativa su Minkowski e con tempo di Killing,
tutto si
riduce a integrali funzionali gaussiani. In particolare gli elemeti
della base
di Fock (autostati del numero di particelle e dell'impulso) sono
funzionali
gaussiani di phi(x).

Poi c'e' lo schema (picture) di Schroedinger in cui gli stati evolvono
nel tempo,
e che ho usato nell'altro post. Nel caso dell'ordinaria teoria
perturbativa su
Minkowski e con tempo di Killing, passare dallo schema di Schroedinger
a
quello di Heisenberg e' immediato.

Nello schema di Schroedinger, gli stati sono associati a sezioni
spaziali.
Questo modo di ragionare e' accattivante perche' sembra facilmente
generalizzabile a spaziotempo curvo: potrei ad esempio considerare
due
sezioni di Cauchy a tempi diversi, e propormi di calcolare l'ampiezza
di
transizione da uno stato su una sezione a uno stato sull'altra.

I lavori di Torre e Varadarajan a cui ti riferisci riguardano la
teoria di un campo
scalare libero su Minkowski, fatta nello schema di Schroedinger ma con
una
foliazione generica. In particolare riguarda l'operatore evoluzione
temporale
che manda stati di Fock (nello schema di Schr.) definiti su una
sezione
spaziale piatta in stati Fock definiti su una sezione spaziale
generica. Il risultato
interessante e' che trovano un teorema no-go: tale operatore
evoluzione
temporale non puo' essere unitario!!

Questo sembra precludere completamente l'uso dello schema di
Schroedinger
su spaziotempo curvo. Infatti, e' naturale aspettarsi che le cose li'
possano
solo peggiorare.

Ho qualche commento su questa cosa, ma provo a postarlo
separatamente.

ciao, eugenio
Received on Thu Apr 19 2007 - 15:59:39 CEST