"Bruno Cocciaro" <b.cocciaro_at_comeg.it> wrote in message
news:461bdb2c$0$17949$4fafbaef_at_reader1.news.tin.it...
> Mi sono espresso male. D'accordo che una "trasformazione" deve costituire
un
> gruppo, ma Poincare', nel dedurre fi=1 fa qualcosa di piu', non si
> accontenta di far si' che le trasformazioni costituiscano un gruppo,
Qua vorrei precisare in quanto, interpretando alla lettera, potrebbe
sembrare che io voglia dire che Poincare', nel dire
"L'ensemble de toutes ces transformations, joint a l'ensemble de toutes les
rotations de l'espace, doit former un groupe; mais poir qu'il en soit ainsi,
il faut que l=1 [fi=1, nelle notazioni usate qua]; on est donc conduit a
supposer l=1 et c'est la une consequence que Lorentz avait obtenue par autre
voie."
stia sbagliando in quanto sta traendo una conclusione (fi=1) sulla base di
ipotesi non sufficienti.
In realta' non e' propriamente questo che vorrei affermare. Se ho ben
compreso cosa vuol dire Poincare', allora la sua affermazione a me pare
corretta dal punto di vista formale (o, almeno, mi pare che interpretando
opportunamente le parole di Poincare' la sua affermazione possa essere
considerata corretta). Il problema e' che "sotto" quella affermazione si
nasconde un'ipotesi fisica che io ritengo debba essere sottolineata a
dovere.
Riassumo. Lorentz scrive
ct'=fi(beta)*gamma*(ct-beta*x)
x'=fi(beta)*gamma*(x-beta*ct)
y'=fi(beta)*y
z'=fi(beta)*z (***)
S e' il laboratorio, S' e' il riferimento in moto, beta*c e' la velocita'
alla quale S' si muove rispetto a S.
Poincare' dice, se ben capisco, che le (***), unite alle rotazioni dello
spazio, devono essere buone per determinare le coordinate in S' una volta
date quelle in S.
Con questo si intende che, sempre se ben capisco:
1) piazzando gli assi x e x' nella stessa direzione (cioe' se S vedra' S'
muoversi nel verso positivo (negativo) delle x allora S' vedra' S muoversi
nel verso negativo (positivo) delle x'),
2) detto beta*c la velocita' alla quale S' si muove rispetto a S (beta>0 o
<0 a seconda di come abbiamo scelto la direzione dell'asse x),
3) le trasformazioni hanno la forma (***).
Posta la correttezza delle (***) ci chiediamo cosa dovrebbe accadere qualora
decidessimo di cambiare il verso della x.
Avendo cambiato il verso delle x la velocita' alla quale S vede muoversi S'
sara' betap=-beta e la seconda delle (***) diventa
x'=fi(-betap)*gamma*(-x+betap*ct).
Poiche' le (***) sottintendono che x e x' abbiano stessa direzione, avendo
cambiato il verso delle x dovremo cambiare anche il verso delle x'
ottenendo:
x'=fi(-betap)*gamma*(x-betap*ct).
A questo punto imponiamo che, previo scambio di beta con betap, l'equazione
appena trovata coincida con la seconda delle (***) in quanto vogliamo che le
(***) siano sempre "buone" (cioe' lo siano anche se decidessimo di cambiare
il verso delle x e x'), cioe' vogliamo che
- x e x' abbiano la stessa direzione
- betap*c sia la velocita' alla quale S' si muove rispetto a S
- le trasformazioni abbiano la forma (***).
A tale scopo deve essere fi(-beta)=fi(beta), cioe' la fi(beta) deve
dipendere solo dal modulo di beta.
Stessa cosa avremmo concluso dalla terza equazione delle (***) che
assumerebbe la forma y'=fi(-betap)*y.
A questo punto, poiche' le (***) ci dicono che se S vede S' muoversi a
velocita' beta*c allora S' vede S muoversi a velocita' -beta*c, abbiamo che
la composizione delle due trasformazioni aventi una come velocita' beta*c e
l'altra -beta*c, deve dar luogo all'identita'. Otteniamo quindi, ad esempio,
y=fi(beta)*fi(-beta)*y, da cui fi(beta)=1 (fi(beta)=-1 si scarta perche'
anche y e y' vengono diretti nello stesso verso).
Il discorso fatto in questi termini mi parrebbe corretto dal punto di vista
formale. Immagino che Poincare' volesse intendere qualcosa del genere con
quel suo "L'ensemble de toutes ces transformations, joint a l'ensemble de
toutes les rotations de l'espace, doit former un groupe", e anche Einstein
fa, non ricordo piu' bene dove, un discorso analogo.
Il punto e' che a me pare che questo discorso nasconda un'ipotesi fisica.
Quando si dice che le (***) devono essere sempre "buone", si sta anche
assumendo che le trasformazioni "buone" debbano avere quella forma (e qui
c'e' nascosta l'ipotesi fisica dell'isotropia).
La fi(beta) potrebbe anche essere una fi((beta,0,0)*(a,b,c)) con (a,b,c)
versore avente una qualche direzione (cioe' potrebbe esistere una direzione
privilegiata).
Cambiando il verso delle x la fi((beta,0,0)*(a,b,c)) diventerebbe
fi((-beta,0,0)*(-a,b,c)), ma da cio' non se ne potrebbe concludere
fi(beta)=fi(-beta). Si ha che fi((beta,0,0)*(a,b,c))=fi((-beta,0,0)*(a,b,c))
solo nell'ipotesi che sia a=0, in generale
fi((beta,0,0)*(a,b,c))=/=fi((-beta,0,0)*(a,b,c)).
Ciao.
--
Bruno Cocciaro
--- Li portammo sull'orlo del baratro e ordinammo loro di volare.
--- Resistevano. Volate, dicemmo. Continuavano a opporre resistenza.
--- Li spingemmo oltre il bordo. E volarono. (G. Apollinaire)
Received on Mon Apr 16 2007 - 15:09:47 CEST