Re: il materasso in lattice come spazio curvo

From: Valter Moretti <vmoretti2_at_hotmail.com>
Date: 16 Feb 2007 07:45:45 -0800

>
> Immaginiamo un materasso in lattice con tanti chiodini fissati dentro
> a formare un reticolo cubico. Questo materasso non deformato
> rappresenta lo spazio R^3 e i chiodini i punti dello spazio. Le
> geodetiche (le curve spezzate di lunghezza minima che uniscono due
> chiodini) sono delle rette.
>
> Adesso deformo il materesso. Le geodetiche non sono piu' rette ma
> curve.

Interpreto quello che hai scritto.
Quando hai detto che le geodetiche sono le rette, intendevi le rette
*di particelle di materasso*, non rette geometriche.
OK ora deformo il materasso in modo tale che ogni punto (particella di
materasso)
P vada a finire in P'. Ora dico che la distanza tra P' e Q' non �
quella geometrica, ma �
la _lunghezza_ della curva di particelle di materasso che unisce P' e
Q' e che prima della
deformazione era una retta. E' una procedura nota in meccanica dei
continui:
metti sulla configurazione attuale il tensore metrico della
configurazione iniziale (forse � il contrario, ma l'idea � simile).
Questo funziona, per� questo ti pu� dare un'idea della sola parte
spaziale della metrica dello spaziotempo.

>A secondo della deformazione le geodetiche si avvicinano o si
> allontano e misurando di quanto calcolo la curvatura.
>
> Alla deformazione e' associata un'energia elastica, e quindi un
> relativo tensore.

Tensore degli sforzi elastico? si in qualche modo � parente del
tensore energia impulso, per�
qui � un tensore relativo all'ambiante, in RG non c'� nulla di simile,
il tensore Energia-Impulso � relativo alla *sorgente* che provoca la
deformazione dello spaziotempo, non allo spaziotempo. (Si pu� definire
in particolari situazioni una specie di "tensore energia impulso della
gravit�" per cercare di dare senso a nozioni come energia del campo
gravitazionale in RG, ma � una causa persa in generale perch� l'idea
fa a pugni con lo stesso principio di equivalenza...)
Tuttavia qui, nel materasso deformato c'� un tensore di curvatura di
Riemann,
che misura la deviazione geodetica, cos� come c'� in RG a parte il
numero delle dimensioni
questo pu� essere un paragone pi� azzeccato (ma sempre solo per la
geometria spaziale)...

> In ogni punto del materasso posso scegliere una
> regione abbastanza piccola si' da pensare che la deformazione sia
> nulla.

Dipende da cosa definisci come deformazione: se la deformazione � il
tensore di curvatura e c'� il tensore di curvatura la deformazione c'�
e basta, un tensore non lo annulli mai con una scelta opportuna delle
coordinate.
Quello che puoi fare, mimando il principio di equivalenza, � annullare
le derivate della
metrica esattamente su un punto in modo tale che la metrica
nell'intorno di quel punto sia
al prim'ordine costante...

> Fin qui il tempo non entra in gioco, ma facciano evolvere la
> deformazione nel tempo con la velocita' limite della luce. Passiamo
> quindi dal reticolo cubico deformato a un reticolo cubico deformato
> nel tempo. Insomma avete capito dove vado a parare.
>
Per la verit� non ho capito: In questo modo non stai dicendo (o
raffigurando) niente della parte temporale della metrica (e della
parte mista). Gli effetti fisici a bassa curvatura, che noi percepiamo
come presenza di forza di gravit� nel nostro mondo quasi Newtoniano,
sono tutti dati dal termine g_{00} cio� la parte temporale della
metrica. La metrica spaziale � praticamente piatta nel nostro
ambiente. L'evoluzione temporale della parte spaziale della metrica
non � la parte temporale della metrica, sono connesase dalle equazioni
di Einstein,
che, almeno per ora, non ci sono nel tuo materasso!

   Ciao, Valter
Received on Fri Feb 16 2007 - 16:45:45 CET