Re: Estensione del lemma di Riemann-Lebesgue

From: Sandro Natale <natale_at_hotmail.it>
Date: Thu, 15 Feb 2007 19:14:54 +0100

Valter Moretti ha scritto:

> On 15 Feb, 14:09, nat..._at_hotmail.it (Sandro Natale) wrote:

> > Stavo pensando alle funzioni di Jacobi che hanno un periodo dato T ed una
> > rappresentazione del tipo di quella che ho data. Dunque, se sostituisco la
> > funzione seno con una Jacobi sn o cn con un parametro che va all'infinito
> > continua a valere il lemma di Riemann-Lebesgue? Lo stesso e' vero per una
> > funzione qualsiasi rappresentabile da una serie di seni e coseni?
> >
> > > Ciao, Valter
> >
> > Ciao e grazie,
> >
> > Sandro


> Domanda difficile, in generale mi aspetto che la risposta sia
> negativa. Si possono per� trovare condizioni sufficienti, nel tuo
> caso per cui la cosa funzioni.

> In riferimento a g(t)=sum a_n sin(a*n*omega*t) e f definite in [a,b],
> se riesci a trovare una successione di numeri positivi p_n per cui

> sum_n p_n <+00

> e anche, per ogni t in [a,b] e a< +oo

> (notare il modulo dentro l'integrale)

> Int | a_n sin(a*n*omega*t) f(t)| dt =< p_n

> allora quello che dici � sicuramente vero:

> int g_a(t) f(t) dt -> 0 per a -> +oo

> applicando il teorema di Fubini-Tonelli, quello della
> convergenza dominata di Lebesgue ed infine il lemma di Riemann-
> Lebesgue.

> Se la serie (notare il modulo)

> sum_n |a_n|

> converge e se la funzione f � limitata su [a,b] (per ese se f �
> continua), allora siamo a posto.
> Ora non mi ricordo quello che succede per le funzioni di Jacobi che
> citi...

> Ciao, Valter

Valter,

grazie infinite. Il caso delle Jacobi e' favorevole poich� i coefficienti
della serie di seni decadono esponenzialmente con n (se ti va puoi
controllare su G-R o Abramowitz e Stegun). Se mi permetti usero' questo
risultato in un articolo citandoti. Sei d'accordo?

Ciao,

Arturo


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Received on Thu Feb 15 2007 - 19:14:54 CET

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