Re: help baricentro piramide con vincolo geometrico

From: El Filibustero <spalland_at_gmail.com>
Date: Mon, 18 Mar 2019 22:23:15 +0100

On Mon, 18 Mar 2019 15:34:57 +0100, El Filibustero wrote:

>>> minimizzando il potenziale si ha un risultato di
>>> pochissimo differente, cioe' che il lato della base quadrata della
>>> piramide a minimo potenziale sarebbe circa 1.372.
>
>>se non è complicatissimo, come hai ottenuto numericamente
>>questi dati ?
>
>Molto semplicemente, risolvendo (numericamente) l'equazione dU/dx = 0.

altro modo, piu' complicato ma piu' elementare. Niente estremanti di
potenziale quindi niente calcolo differenziale, solo considerazioni di
forze.

Sia V il vertice della piramide, sia ABCD la sua base quadrata di
centro H; sia O il centro della sfera di raggio 1 in cui e' inscritta.

Sia t l'angolo formato dall'altezza VH e da uno spigolo obliquo VA
della piramide. La semidiagonale AH della base e' sin(2t); lo spigolo
obliquo AV e' sqrt(2+2cos(2t)).

Quali forze agiscono sul punto A?

* 1/(2u)^2, dovuta alla carica C opposta in diagonale, che agisce
appunto in direzione AC;

* due forze di modulo 1/(sqrt(2)*AH)^2, dovute ai vertici B e D,
agenti lungo i lati AB e AD; essendo queste forze uguali danno una
risultante di modulo sqrt(2)/(2AH^2) diretta lungo AC; se la sommiamo
alla forza di prima, otteniamo una forza F di modulo

(sqrt(2)/2+1/4)/AH^2 = (sqrt(2)/2+1/4)/sin(2t)^2,

sempre diretta lungo la diagonale AC.

* la forza G dovuta a V, che ha modulo 1/(2+2cos(2t)), agente lungo lo
spigolo obliquo AV.

Ora, se A e' in equilibrio, la somma vettoriale F+G deve avere
necessariamente direzione radiale AO: applicando il th. dei seni al
parallelogramma formato da F e G concorrenti in A, si ha che

|F| : sin(VAO) = |G| : sin(OAH)

ossia

|F| : sin(t) = |G| : sin(pi/2 - 2t)

e ricordando i moduli di F e G,

(sqrt(2)/2+1/4)*cos(2t)/sin(2t)^2 = sin(t)/(2+2cos(2t)),

equazione goniometrica che risolta numericamente da'

t =~ 0.6625658601

che corrisponde appunto a

AB=sqrt(2)AH=sqrt(2)*sin(2t)=~1.371753081,

stesso risultato della soluzione approssimata di dU/dx=0 del post
precedente. Ciao
Received on Mon Mar 18 2019 - 22:23:15 CET