Valter Moretti ha scritto:
> cometa luminosa ha scritto:
>
> >
> > Cio�, il gemello A vede il tempo del gemello B sempre rallentato, ma
> > al loro secondo incontro hanno la stessa et�?
>
> No: nessuno dei due pu� dire se l'altro � "rallentato" o no prima di
> incontrarlo nuovamente, dato che nessuno dei due pu� costruire una
> nozione di tempo globale. Quando si incontrano hanno la stessa et�.
Ciao, cerco di spiegarmi meglio. Nello spaziotempo di Minkowski,
fissato un osservatore, inteso qui come "omino" o strumento di misura
che evolve descritto da una geodetica, c'� un modo canonico di
definire una nozione di tempo associata a tale osservatore in tutto lo
spaziotempo: in questo modo puoi dire "che ore sono" anche in posti
lontani dall'osservatore.
La procedura � quella di sincronizzare gli orologi lontani da esso, ma
in quiete con esso, secondo il criterio di Einstein (che ha un certo
grado di convenzionalit� ma non entro nella discussione su questo
punto). La sincronizzazione di un orologio distante dall'osservatore �
riferita all'orologio in quiete con l'osservatore che misura il suo
tempo proprio. Tutti gli orologi in quiete con l'osservatore ma
distanti da esso, sono sincronizzati con tale orologio.
Devi rappresentarti una cosa di questo genere: c'� la linea di
universo dell'osservatore diretta verso il futuro, per convenzione una
linea retta. Considera poi i piani perpendicolari a tale linea
che riempono tutto lo spaziotempo. Nella realt� questi piani hanno 3
dimensioni e sono lo spazio di quiete con l'osservatore. Ogni piano �
etichettato con il valore del tempo proprio della linea nel punto in
cui interseca il piano: quello � il tempo dello spazio di quiete. Ogni
orologio su questo piano segna lo stesso tempo.
Prendiamo, nello spazio di Minkowski i due gemelli che si separano
nell'evento O al tempo T_A=T_B =0 uguale per entrambi gli orologi in
quiete che misurano il tempo proprio di ciascuno dei due gemelli.
Quando per il gemello A � passato T_A di tempo proprio, per l'altro
gemello sar� passato un intervallo di tempo
T_B = T_A /sqrt(1-v^2/c^2).
Attenzione che l'intervallo T_A � misurato sempre con lo stesso
orologio senza nessuna richiesta di sincronizzazione. Viceversa
l'intervallo T_B � valutato usando la procedura di sincronizzazione.
Quando l'orologio di A segna T_A, la linea di universo di A interseca
lo spazio di quiete di B, ma non pi� la linea di universo di B. Lo
spazio di quiete che interseca � etichettato con il tempo T_B e vale
T_B = T_A /sqrt(1-v^2/c^2).
Quindi la situazione � asimmetrica e T_A < T_B.
Si pu� scambiare il ruolo dei due gemelli ottenendo il risultato
simmetrico. Per capire come ci� sia possibile bisogna rendersi conto
che gli spazi di quiete di B e quelli di A sono diversi.
Un modo qualitativo di pensare la cosa � di rappresentare gli spazi di
quiete di B perpendicolari alla linea di universo di B e quelli di A
perpendicolari alla linea di universo di A. Le linee sono diverse e
quindi i piani sono differenti. (La rappresentazione e viziata dal
fatto che in essa, nella nozione di perpendicolarit�, si usa la
metrica euclidea invece di quella lorentziana).
Se facciamo delle identificazioni nello spaziotempo facendo diventare
chiuso (compatto) ogni spazio di quiete di A (in uno spaziotempo a 2
dimensioni si ha l'universo cilidrico di ci s � discusso). Mentre gli
spazi di quiete di A continuano ad esistere in forma ridotta in questo
caso, non continuano ad esistere quelli di B. Se fai un disegno te ne
accorgi: a causa delle identificazioni si sovrappongono nel cilindro
parti di spazi di quiete di B con valori del tempo differenti. In altre
parole non � pi� possibile per B definire una coodinata temporale
globale
che rispetti la procedura di sincronizzazione einsteniana: per eventi
lontani dalla sua linea di universo non � possibile associare loro una
coordinata temporale sincronizzata con il tempo proprio di B. Non si
pu� pi� dire quanto tempo � passato per B quando per A � passato
T_A (volendo sare la nozione einsteniana di sincronizzazione), esclusa
la situazione in cui A e B si ncontrano nuovamente esattamente dopo T_B
secondi per B. In quel caso basta confrontare _nello stesso posto_ idue
orologi.
Nel caso di due osservatori B e B' che si separano simmetricamente da A
in direzioni opposte con la stessa velocit� (rispetto ad A)
nell'universo cilindrico costruito rispetto ad A, la situazione � una
banale complicazione della precedente. B e B' non possono costruire
coordinate temporali globali, per cui non ha senso dire (nel senso
della sincronizzazione einsteiniana) quanto tempo � passato per B
quando per B' � passato T_B', esclusa la situazione in cui B e B' si
incontrano nuovamente esattamente dopo T_B' secondi per B'. In quel
caso basta confrontare _nello stesso posto_ i due orologi. Per
simmetria deve essere passato lo stesso tempo.
Ciao, Valter
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Valter Moretti
Dip. Matematica - Univ. Trento
http://www.science.unitn.it/~moretti/home.html
Received on Wed Dec 27 2006 - 15:21:26 CET