Re: moto di un grave in aria

From: Daniele Fua <daniele.fua_at_unimib.it>
Date: Fri, 08 Dec 2006 15:18:39 GMT

Franco wrote:
> zelaph wrote:
>> Salve a tutti,
>> ho un piccolo problema con lo studio del moto di un proiettile in
>> presenza di viscosit� (aria nel mio caso). Dovrei ricavare la
>> traiettoria partendo dall'equazione differenziale seguente
>> d2y/d2t=-g-Ldy/dt dove L � il coefficiente di viscosit�.
>> Condizioni iniziali V(y)=VSen(angolo di lancio)
>
> Solo una osservazione. Il termine di attrito e` lineare (resistenza
> proporzionale alla velocita`) solo in particolarissime condizioni. Per
> oggetti di dimensioni ragionevoli (non goccioline) la resistenza
> aerodinamica e` all'incirca proporzionale al quadrato della velocita`
> (numero di Reynolds compreso fra 1000 e 100000).
>

Direi che a zelaph e' stata proposta quella forma d'attrito perche'
l'equazione ha una soluzione semplice; nell'altro caso non so neppure se
esisterebbe una soluzione analitica.

Invece vediamo di ripassare un po' le equazioni differenziali anche se,
pure per me, sono passati parecchi annetti.
1) hai un'equazione lineare non omogenea la cui soluzione generale puo'
essere trovata sommando alla soluzione dell'equazione omogenea una
soluzione particolare dell'equazione non omogenea.
2) la soluzione dell'equazione omogenea e' semplice e ti da' l'andamento
esponenziale che hai trovato (non capisco come possa averlo trovato
altrimenti...), precisamente
y(t) = A exp{-Lt} + B
3) una soluzione particolare dell'equazione non omogenea (facilmente
verificabile se non ho fatto errori) e'
y_p(t) = -gt/L
4) la soluzione dell'equazione e' quindi
y(t) = B + A exp{-Lt} - gt/L
dove le costanti d'integrazione A e B sono da calcolare in funzione
delle condizioni iniziali.

Non vedo grossi problemi (ripeto: a meno di errori!), l'andamento in t
al quadrato non c'e' piu' proprio per la presenza del termine di
attrito: l'accelerazione che senza attrito dipendeva solo da g, ora
viene modificata in maniera sostanziale; incidentalmente puoi notare che
per L -> 0 la soluzione che ho scritto sopra non funziona.

Daniele Fua'
Uni.Roma1
Received on Fri Dec 08 2006 - 16:18:39 CET