Il 01 Nov 2006, 00:34, gianmarco100_at_inwind.it (Tetis) ha scritto:
> Il 31 Ott 2006, 20:51, Elio Fabri <elio.fabri_at_tiscali.it> ha scritto:
> > Ora vi racconto una storia personale: mi accorsi di questo
> > errore quando mi trovai (ben 51 anni fa) a insegnare per la prima volta
> > meccanica analitica.
> > A me era stata insegnata al modo sbagliato che stiamo esaminando, e
> > scopersi da solo l'errore. Nelle mie dispense di allora c'e' scritto
> > che una trasf. si dice canonica se lascia invariata la forma delle eq.
> > di Hamilton *per qualsiasi hamiltoniana*.
>
> Sono d'accordo, ma questo sottointende implicitamente che
> dai la prescrizione di produzione della nuova Hamiltoniana,
> come la stessa Hamiltoniana nelle nuove coordinate e che le
> traiettorie della nuova Hamiltoniana sono le stesse di prima
> eccetto che risultano espresse nelle nuove coordinate.
> Altrimenti e' sempre possibile estendere il controesempio.
Posso forse fare il punto su questa congerie di questioni.
Comincero' riconoscendo un errore: vale la
circostanza che il caso di trasformazioni canoniche dipendenti
dal tempo non rientrerebbe in questa definizione. Ho sbagliato
nel ricalcare la definizione di trasformazioni completamente
canoniche, data da Gallavotti, per il caso dipendente dal tempo.
Quella definizione non si estende immediatamente al caso dipendente
dal tempo per la circostanza che dall'identita' pdq - PdQ - (H-K)dt = df
segue che H e K possono differire per una derivata parziale di f rispetto
al tempo. La definizione che
proponi, invece, e' vincolante per le trasformazioni canoniche nel caso di
trasformazioni di contatto. Ovvero X(x,0) = x . Vediamo come si puo'
ragionare conseguentemente e senza richiedere condizioni aggiuntive
sulla base della definizione detta sopra. Un modo e' quello basato sulla
correzione dell'argomento di Gantmacher. Ha il pregio di essere molto
"visivo" lo svantaggio di non ammettere una formulazione algebrica
altrettanto "conseguente".
Riprendiamo le conclusioni del discorso che avevo scritto in un
altra risposta, a Giorgio, perche' sono corrette,
il teorema dimostrato sul libro di Fasano Marmi permette di concludere,
coerentemente:
{A,B}_x = a(t) {A,B}_X.
conseguentemente risulta anche:
(P_k dQ_k -Kdt)= a(t) (p_k dq_k - Hdt) + df
Il ragionamento che facevo per ricavare la prima identita'
e' superfluo, benche' corretto (il fattore a(t) nel lemma invocato
non dipende dalla Hamiltoniana), e' sufficiente ricordare che nella
dimostrazione data da Fasano e Marmi si incorre nell'identita':
J S J^t = a(t) J
dove J e' lo Jacobiano della trasformazione X(x,t) = _at_X/_at_x.
A questo punto occorre solo osservare che, per ipotesi,
la forma canonica delle equazioni X'=0, corrispondenti
ad una Hamiltoniana della forma H(x,t) = f (t) e' conservata,
ovvero esiste K_0(X,t) in modo che X' = _at_X/_at_t = S grad_X K_0
Rifrasando allora il teorema di conservazione dell'elemento
dQ ^ d P per evoluzione temporale indotta da K_0
risulta che a(t) deve essere una costante.
Abbiamo visto con Giorgio, correggendo le osservazioni
di Gantmacher che questa conclusione e' ottenibile in
altro modo.
Il trucco per dimostrare il teorema di cui sopra
consiste nel ricondursi, a partire dalle equazioni
del moto alla forma:
grad_x H = - S J^(-1) S J^t(-1) grad_x (K(X(x,t),t) - K_0(X(x,t),t))
da cui:
J^t S J S grad_x H = grad_x (K(X(x,t),t) - K_0(X(x,t),t))
e quindi applicare il lemma riferito a Giorgilli, et al.:
" se per ogni H risulta che
il rotore della forma differenziale A(x,t) dH, dove A e'
una matrice, si annulla allora A(x,t) = a(t) I "
A questo punto un'osservazione sulla funzione K_0:
Notiamo che dalla identita' :
(P_k dQ_k -K_0 dt)= a (p_k dq_k) + df
segue K_0 (P, Q , t ) = - _at_f / @ t (Q, q, t) | _(Q,q(Q,P,t), t)
Ovvero sussiste questo nesso fra la funzione generatrice
e l'Hamiltoniana che corrisponde all'Hamiltoniana nulla, anche
se non e' affatto scontato, mi sembra,
risalire alla forma di f dalla forma di K_0.
Dato che possiamo scegliere arbitrariamente Q(q,p,0) P(q,p,0),
purche' compatibilmente con l'omogeneita' della forma volume.
Rimane invece il fatto che le funzioni generatrici sono uno strumento
estremamente versatile nella costruzione di trasformazioni canoniche,
per quanto, se scelte a caso, possano risultare in funzioni a piu' valori.
Ad esempio:
f(Q,q,t) = (Qqt)^2
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Received on Sun Nov 05 2006 - 19:40:12 CET