Re: Interpretazione geometrica delle funzioni generatrici

From: Tetis <gianmarco100_at_inwind.it>
Date: Fri, 03 Nov 2006 16:25:39 GMT

Il 03 Nov 2006, 01:46, gianmarco100_at_inwind.it (Tetis) ha scritto:
> Il 02 Nov 2006, 00:19, Giorgio Pastore <pastgio_at_units.it> ha scritto:
> > Tetis wrote:
> > ...
> > >
> > > Con tutto il rispetto per Gantmacher il cui libro ho apprezzato
> > > in piu' parti, era proprio questo il genere di inconsenguenzialita' a
> cui
> > > mi riferivo. Da dove piove questa definizione? per quale motivo non
> potrebbe
> > > essere (Q_k dP_k -Kdt)= c(t) (q_k dp_k) - Hdt + df ?
> >
> > Mi sembra che Gantmacher non facesse piovere dal cielo la formula ma
> > usasse il teorema di Lee Hwa Chung sulla unicit� degli invarianti
> > integrali per dedurre che c deve essere una costante. Purtropo per�
> > non ho il tempo in questo periodo per riprendere in mano l' approccio
> > di Gantmacher e verificarne direttamente la validit�. La mia
> > puntualizzazione era piuttosto nel senso che la definizione data
> > inizialmente dall' OP di trasf. canoniche non era completamente
> > campata per aria.

Nota comunque che il teorema che avevo riportato nella e-mail
precedente implica che le parentesi di Poisson per una generica
trasformazione canonica dipendente dal tempo cambiano secondo
un fattore di valenza che puo' dipendere dal tempo, questo potrebbe
essere azzardato dedurlo da un teorema dimostrato per trasformazioni
indipendenti dal tempo, mentre discende naturalmente dalla circostanza
che se la trasformazione (q,p,t) -> (Q,P,t) preserva la struttura canonica
delle equazioni di Hamilton,
allora detto J lo Jacobiano risulta: a(t) J^t S J^t(-1) = S in modo che le
parentesi
di Poisson nelle nuove coordinate risultano modificate da un fattore
dipendente
dal tempo, rispetto alle precedenti coordinate.

La dimostrazione e' come segue:

si scrivono le equazioni di Hamilton:

X ' = S grad_X K

si torna alle coordinate x:

J x' + _at_X/_at_t = S J^t(-1) grad_x K

si sostituisce K(X(x,t),t) = a(t) H'(X(x,t),t) + K_0(X(x,t),t)
si osserva che H'(X(x,t) , t) = H(x,t) per definizione di H'
e che S grad_x K_0(X(x,t),t) = _at_X/_at_t per definizione di
K_0. In conclusione risulta:

x' = a(t) J^(-1) S J^t(-1) grad_x H

e per confronto con il sitema:

x' = S grad_x H

risulta che grad_x H e' nel Kernel di
 c(t) J^(-1) S J^t(-1) - S

per ogni H. Dunque poiche' al variare di H grad_x H
copre l'intero spazio vettoriale segue la tesi

a(t) J^(-1) S J^t(-1) - S = 0

Adesso notiamo che le parentesi di Poisson possono
essere espresse:

{ A , B } _ X = (grad_ X A) S (grad_X B) = (grad_x A) J^(-1) S J^t(-1)
grad_x B =
= (1/a(t)) {A, B}_x

Ovvero {A,B}_x = a(t) {A,B}_X.

 conseguentemente risulta anche:

(Q_k dP_k -Kdt)= a(t) (q_k dp_k - Hdt) + df

che coincide con il risultato di Gantmacher ma guadagnando il
coefficiente dipendente dal tempo.

> Anch'io purtroppo non ho il tempo di rivedere il dettaglio della
questione,
> ma ricordo di essere ammattito per un poco nel cercare di conciliare
> questa storia del fattore di valenza costante con l'idea intuitiva che
> ci dovesse essere una trasformazione che conservava la struttura
> canonica di equazioni per sistemi lagrangiani con energia non conservata
> e che tuttavia ammettesse come costante del moto una hamiltoniana
> riscalata.




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Received on Fri Nov 03 2006 - 17:25:39 CET

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