Marco ha scritto:
...
> > E perch� dovrebbe essere sbagliato il tuo ragionamento?, la scelta
> > rho(q,p) = 1 , nel volume dello spazio delle fasi accessibile al sistema e
> > rho(q,p) = 0 fuori di esso � perfettamente accettabile, nel caso di
> > sistemi all'equilibio termodinamico.
...
> Il problema � che la mia derivazione � del tutto generale,
> non fa uso del fatto che il sistema � all'equilibrio. Fa uso solo del
> fatto che i parametri macroscopici non variano nel tempo. Quest'ultimo
> fatto non corrisponde all'essere all'equilibrio.
...
Se i parametri termodinamici di un sistema macroscopico isolato variano
poco nel tempo (fluttuazioni dell'ordine di 1/sqrt(N)), allora il sistema
so trova all'equilibrio. Di qui non si scappa.
> Infatti consideriamo
> la solita espansione libera di un gas. Nell'istante immediatamente
> successivo a quello in cui tolgo il setto che confina il gas in un
> volume ridotto, i parametri macroscopici vengono subito settati ai
> valori nuovi e rimangono fissi per tutta l'espansione, anche se il gas
> non si trova all'equilibrio durante il rilassamento.
...
Non � affatto cos�: un istante dopo che hai tolto il setto separatore il
gas comincia a diffondersi nella seconda parte del contenitore e lo fa in
modo disordinato.
Prima di giungere all'equilibrio, dopo un tempo dell'ordine del tempo di
rilassamento del sistema, non � possibile neppure definire univocamente i
parametri macroscopici entro tutto il volume (la pressione in
particolare): ci� diventa possibile solo una volta raggiunto l'equilibrio.
> Ovvero la funzione
> rho diventa immediatamente, nell'istante in cui tolgo il setto, uguale
> ad uno (o ad una costante, vista l'obiezione che mi hai mosso sopra)
> negli stati che soddisfano le condizioni macroscopiche, 0 altrimenti.
Non � vero neppure questo.
Tanto per cominciare con la rimozione del setto il sistema pu� accedere, e
lo fa gradualmente entro un tempo dell'ordine del tempo di rilassamento, a
un numero molto pi� grande di stati, per la precisione:
W2 = W1*2^N
dove W1 e W2 indicano gli stati accessibili al sistema prima e dopo la
rimozione del setto e N � il numero di particelle.
Ora poich� durante l'espansione libera il numero di copie dell'ensamble
rimane costante, il valore di rho dovr� necessariamente diminuire (lo vedi
imponendo la condizione di normalizzazione alla rho integrata su tutto il
volume dello spazio delle fasi prima e dopo l'espansione); in pratica la
rho passa da un valore costante a un'altro valore costante (dopo aver
raggiunto nuovamente l'equilibrio) ma notevolmente pi� piccolo.
Durante il tempo di rilassamento, quindi, i punti rappresentativi
migreranno in una zona dello spazio delle fasi prima inaccessibile e in
questo "interim", prima del raggiungimento dell'equilibrio, la rho
dipender� esplicitamente dal tempo.
...
> Per questo
> dico che la probabilit� � qualcosa che sta "sopra ai punti".
...
La densit� di probabilit� �, a meno di una costante di normalizzazione,
proprio la funzione rho sui punti rappresentativi, quindi non vedo proprio
come possa stare "sopra ai punti".
> > Inoltre non riesco proprio a vedere come e perch� tale scelta dovrebbe
> > togliere significato al teorema di Lioville (che vale anche per sistemi
> > termodinamici non in equilibrio) o al postulato di equiprobabilit� a
> > priori.
> L'equiprobabilit� l'ho discussa prima. Il teorema di Liouville �
> assolutamente inutile se rho = costante negli stati che corrispondono
> ai parametri macroscopici, 0 altrimenti. Infatti la funzione che ho
> derivato in generale soddisfa banalmente l'equazione di continuit� per
> rho.
Nel transiente tra i due stati di equilibrio, prima e dopo la rimozione
del setto, mentre la rho dipende esplicitamente dal tempo, il teorema di
Lioville continua a valere. E ti d� l'informazione, niente affatto banale
e non derivabile unicamente dall'equazione di continuit� per rho (ci
vogliono anche le equazioni del moto) che la derivata totale di rho �
nulla, ovvero che rho � una costante del moto.
A me tutto ci� non pare n� inutile n� banale.
Saluti,
Aleph
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Received on Thu Oct 19 2006 - 11:32:02 CEST