Re: Chiarimento su Huang - Meccanica Statistica

From: Marco <nbwba_at_tin.it>
Date: 16 Oct 2006 10:59:58 -0700

Aleph ha scritto:

> > La funzione rho la interpreto come una distribuzione di probabilit�.
> > Ovvero int_Delta rho(p,q,t) dp dq = probabilit� che il sistema
> > macroscopico sia rappresentato da un punto che giace nel volume Delta
> > sottoinsieme dello spazio Gamma.
>
> La definizione propria della rho � quella data in termini di punti
> rappresentativi del sistema nello spazio delle fasi. Dopodich� ammettendo
> come valida l'ipotesi ergodica si pu� ragionare anche in termini di
> probabilit� (nota per� che la probabilit� che hai definito sopra non �
> normlizzata).

Ciao! Il problema � che non ho chiara questa definizione. Ho scritto
nel primo post i motivi, ma li ripeto, cercando di essere pi� chiaro.
Consideriamo una particella 1 e dividiamo il suo spazio delle fasi
\mu^1 in cellette di grandezza dp1 dq1 = dp1^3 dq1^3, piccola rispetto
alle dimensioni macroscopiche ma grande rispetto a quelle
microscopiche. Ora la particella 1 potr� stare in un'infinit�
numerabile di stati. Se imponiamo delle restrizioni, per esempio
imponiamo che p1^2/2m sia <= E e le q1 siano confinate in V, abbiamo un
numero finito di stati possibili.

Adesso consideriamo lo spazio \Gamma. Lo possiamo vedere come prodotto
di spazi \mu, uno per ciascuna particella. Le parcielle sono N. Se
fissiamo il volume e l'energia, � chiaro che in ciascuno dei
sottospazi di \Gamma che si riferiscono alle singole particelle, vi
sar� un numero finito di stati possibili e, di conseguenza, l'ensemble
corrispondente ad una data E e un dato V � costituito da un numero
finito di punti. Ora vorrei far notare che, nella divisione che ho
fatto, le ipercellette 6N dimensionali dello spazio \Gamma contengono,
per definizione, UN SOLO punto rappresentativo dell'ensemble. Inoltre
ogni celletta ha le stesse dimensioni (ovviamente non avrebbe senso
dividere gli spazi \mu con cellette di grandezze diverse, almeno a
questo livello). Se il mio ragionamento � giusto (e spero che sia
sbagliato, ma vi chiedo dove sbaglio), il numero di punti
rappresentativi in un volumetto dpdq centrato attorno a (p,q) � uguale
ad 1 se quello stato soddisfa le condizioni dell'ensamble, 0
altrimenti. Ovvero la \rho(p,q,t) � uniforme in tutta la regione dello
spazio \Gamma che soddisfa le condizioni macroscopiche. Se questo fosse
vero sempre non avrebbe senso n� il teorema di Liouville, n� il
postulato sull'equiprobabilit� a priori.

> > Quello che mi disturba �, in primo luogo, il linguaggio usato da Huang
> > con "densit� di punti rappresentativi". Secondo me sarebbe pi�
> > appropriato parlare di "densit� di probabilit�" nel senso che ho
> > specificato sopra.
>
> Non ne vedo la necessit�, visto che il concetto di "ensemble" si basa
> proprio sulla considerazione delle innumerevoli repliche (punti
> rappresentativi, appunto) equivalenti di un sistema con condizioni
> macroscopiche fissate.

Certo, ma queste repliche, per come la vedo io (certamente sbagliando,
ma non capisco dove), sono equispaziate nello spazio \Gamma, come un
reticolo "cubico" per capirsi.

> In realt� l'interpretazione che adotti ti porta fuori strada: la funzione
> rho � una costante del moto, quindi ogni punto dello spazio delle fasi,
> tra quelli ammessi dalle condizioni prefissate, ha la stessa probabilit� a
> priori di ospitare il sistema.

Da quello che ho capito questo postulato vale solo all'equilibrio.

Grazie anche a te per la risposta.

Ciao
Marco
Received on Mon Oct 16 2006 - 19:59:58 CEST