Re: non mi torna un verso

From: Giorgio Pastore <pastgio_at_univ.trieste.it>
Date: Tue, 17 Oct 2006 18:20:02 +0200

A me sembra che per piccoli tempi non ci siano dubbi.

Riprendiamo la descrizione dei due moti nel sistema inerziale:

B si muove secondo la legge oraria

x_B(t) = R sin(w t)
y_B(t) = -R cos(w t)

e il disco secondo la:

x_d(t) = wR t
y_d(t) = -R + v0 t

Possiamo semplificarci la vita scegliendo opportunamente le unit� di
tempo (w^-1) e di lunghezza (R). Abbiamo quindi in tutta generalit�:

x_B(t) = sin(t)
y_B(t) = - cos(t)

e il disco secondo la:

x_d(t) = t
y_d(t) = -1 + v0 t

(in realt� adesso v0 esprime la velocit� con cui � lanciato il disco
(positiva se verso l' alto) nelle nuove unit�. Quello che abbiamo
guadagnato � che c' � evidentemente un solo parametro rilevante (v0).

Come facciamo a sapere se il disco � a sx o dx di B ?
Prendiamo la retta che passa per l' origine (il centro del disco) e per
la posizione istantanea di B. La sua equazione varier� nel tempo. Un
minimo di geometria ci convince che la rappresentazione

(tg(t))*y + x = 0 [RR] � la nostra retta (la rappresentazione diviene
singolare per t = pi/2 ma a noi interessano solo i piccoli t.

Ad ogni t la retta [RR] divide il piano in due semipiani e, almeno
dfino a t=pi/2, tutti i punti le cui coordinate (x,y) sostituite nell'
equazione di [RR] danno un risultato positivo sono nel semipiano destro
rispetto a B.

Vediamo allora che segno prende [RR] se la valutiamo in corrispondenza
alle coordinate istantanee del disco (x_d,y_d):

(tg(t))*(-1+v0*t) + t

se prendiamo l' espansione a piccoli t della tangente (tg(t) = t +
t^3/3+...
vediamo che il termine dominante a piccoli t �:
v0*t^2, che � positivo se v0 lo �.

Quindi la mia conclusione. (Salvo errori)

In realt� il ragionamento che avevo fatto inizialmente era meno "forza
bruta". Partivo dalla constatazione che in un tempo dt B si muove
lungo il tuo segmento B0-C (= vel. tangenziale*dt) e il disco lungo l'
ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha come cateti B0-C e (vel
verticale)*dt, pertanto mi sembrava comunque chiaro che dovesse
trovarsi sempre a dx.

Giorgio
Received on Tue Oct 17 2006 - 18:20:02 CEST