Re: Aiuto calcolo momento angolare

From: argo <brandobellazzini_at_supereva.it>
Date: 19 Sep 2006 16:41:52 -0700

TV wrote:
> Se considero il momento angolare, posso fare i seguenti passaggi?
>
> (1) L= r x m v = r x m dr/dt =
>
> ma (s e t versori che formano un angolo di 90 gradi nella direzione in cui
> ruota r)
>
> dr/dt =d(r s)/dt = d(r)/dt s + r d(s)/dt = d(r)/dt s+ r omega t
>
> Dunque la (1) diventa:
>
> L= r x m v = r x m dr/dt = r x m [d(r)/dt s+ r omega t ]=

Prima di andare avanti credo che dovresti specificare chi e' omega e
chi e' t. Mi spiego, se il moto avviene su un piano hai grandi
semplificazioni dal fatto che delle tre coordinate polari (r,theta,phi)
ti puoi ricondurre ad usarne solo due (r,phi) avendo posto theta=pi/2:
in tal caso avresti che w=d(phi)/dt e t versore a due componenti
t=(-sin(phi),cos(phi)).
Se invece il moto non avviene in un piano dovrai derivare rispetto al
tempo un angolo theta in piu' e quindi ci saranno due derivate degli
angoli da fare, w2=d(phi)/dt e w1=d(theta)/dt, che vengono dalla
derivata del versore
s=(cos(theta),sin(theta)cos(phi),sin(theta)sin(phi))

(*) d(s)/dt=w1 u1+w2 u2

dove si definiscono i versori

u1=(-sin(theta),cos(theta)cos(phi),cos(theta)sin(phi))
u2=(0,-sin(theta)sin(phi),sin(theta)cos(phi)).

Certamente u1, u2 e s sono tra loro ortogonali (sono una base
ortogonale in ogni punto delle spazio), e la (*) ci dice che la
derivata di s sta nel piano (e' tangente al piano) ortogonale ad s.
Quindi necessariamente il prodotto vettoriale con r (vettore) che
scrivi nel momento angolare da' ancora un vettore tangente al piano
generato da u1 e u2 ma e' anche ortogonale al vettore (w1 u1+w2 u2)
ovvero si ottiene il vettore

(**) L= r x m v=m |r|^2(-w2 u1+w1 u2)

dove |r| e' la distanza dall'origine delle coordinate.
Come verifica ad esempio guardiamo il caso di moto sul piano
theta=pi/2:
w1=0
w2=d(phi)/dt
u1=(-1,0,0)
u2=(0,-sin(phi),cos(phi))
e quindi
L=-m|r|^2d(phi)/dt u1,
cioe' L punta nella direzione ortogonale al piano come ci si aspetta.

Saluti.
Received on Wed Sep 20 2006 - 01:41:52 CEST