Il 05 Set 2006, 20:24, "argo" <brandobellazzini_at_supereva.it> ha scritto:
> Leggendo un post su free.it.scienza.fisica sulla questione
> dell'adimensionalita' degli esponenti mi e' tornato amente una vecchia
> questione: che relazione c'e' tra unita' di misura e sistema di
> coordiante? Direi che un cambiamento di unita' di misura e' quasi
> sempre una trasformazione di scala, pero' mentre le teorie non sono in
> genere invarianti di scala la scelta delle unita' di misura e' del
> tutto arbitraria. Quale e' dunque il legame tra trasformazioni di
> coordinate in generale e cambiamento di unita' di misura?
> Forse e' una domanda superficiale ma vorrei un po' di chiarezza.
> Grazie, saluti.
Direi che un riscalamento delle coordinate pu� sempre essere
pensato come una trasformazione generale di coordinate.
Le trasformazioni generali di coordinate in relativit� generale,
per pensare ad un esempio specifico sono trasformazioni
che lasciano invariata la forma delle equazioni. Questa �
la particolarit� della relativit� generale. Le trasformazioni
attive e passive sono intercambiali, in modo che una rotazione
di un secchio rispetto alle stelle possa essere visto come una
rotazione delle stelle rispetto al secchio. In verit� un'universo
fatto di infinite stelle in cui la metrica sia asintoticamente piatta
all'infinito non ammette questa intercambiabilit�. E' possibile
cambiare le coordinate, impossibile interpretarle come un
riferimento. E' il celeberrimo problema del riferimento rotante.
Tuttavia si pu� pensare all'esempio di
Einstein: due gocce d'acqua nel vuoto sono le uniche sorgenti dei
campi. Un gran lavoro � stato dedicato a questo soggetto.
C'� un punto delicato che � questo: la metrica pu� andare
asintoticamente a zero senza annullarsi. La metrica nulla
� un problema per le equazioni di Einstein, dato che il
formalismo di innalzamento ed abbassamento degli indici
richiede una dualit� di origine metrica, ma una metrica
asintoticamente nulla ma non nulla non � problematica.
Esistono altre questioni che sono problematiche. Le gocce
si attraggono o possono respingersi? Se le poniamo in
rotazione intorno ad un asse ortogonale possiamo compensare
l'attrazione? Questa soluzione � stabile oppure comporta comunque
una coalescenza?
Attenzione che anche se il tensore energia impulso pu�
essere trasformato in accordo con un riscalamento delle coordinate,
tuttavia le equazioni costitutive che associano ai campi i
tensori energia impulso rimangono estranee alla covarianza
generale delle equazioni. Esistono tuttavia formulazioni
pienamenti conformi della teoria dei campi. Invarianti
anche rispetto a generiche trasformazioni conformi.
In queste teorie esiste un sistema di unit� di misure definito
intrinsecamente dai campi. La grandezza fondamentale della
teoria di Weyl � la curvatura. Nella teoria delle stringhe sussistono
strutture di invarianza analoghe.
Per esercizio prova a scrivere
la lagrangiana di n masserelle equispaziate
su un elastico con lunghezza di riposo nulla. E poi su un elastico
con lunghezza di riposo fissata. Ti accorgi che
a meno dello zero dell'energia la lagrangiana risente solo
delle condizioni asintotiche che regolano la spaziatura media
delle masserelle e non della lunghezza di riposo dell'elastico.
La lagrangiana risente indubbiamente della scelta di unit�
di misura, tuttavia esiste una scelta di unit� naturali che rende
le formule adimensionali. Prova a vedere quali.
Prova anche con un substrato periodico, in questo
caso la situazione � differente. Quali sono i parametri
fondamentali che caratterizzano la fisica complessiva
del sistema?
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Received on Wed Sep 13 2006 - 03:25:26 CEST