In meccanica quantistica, consideriamo un sistema che durante
l'evoluzione dopo un certo tempo T torna nello stato inziale. Lo stato
finale del sistema differisce da quello iniziale soltanto per una fase.
Questa e' la somma di due contributi: una fase dinamica, l'integrale
nel tempo del valore di aspettazione dell'Hamiltoniana sullo stato
istantaneo, e una fase geometrica.
Il motivo per cui questa fase e' chiamata "geometrica" e' il seguente:
lo stato del sistema durante l'evoluzione percorre una traiettoria
chiusa nello spazio di Hilbert (piu' precisamente nello spazio
proiettivo, quello dei raggi); la fase geometrica e' proporzionale
all'area racchiusa dalla traiettoria.
Nel caso in cui l'evoluzione sia guidata da una variazione adiabatica e
periodica dell'Hamiltoniana, la fase geometrica prende anche il nome di
fase adiabatica o di Berry.
Consideriamo il caso di un oscillatore armonico in uno stato coerente.
Supponiamo di aggiungere all'Hamiltoniana dell'oscillatore armonico un
termine tipo f(t)*X. Si puo' dimostrare che lo stato del sistema rimane
uno stato coerente anche durante l'evoluzione. In altre parole la
varianza della posizione e del momento sono costanti. Pertanto
l'evoluzione dello stato si puo' rappresentare graficamente in un
diagramma <x>, <p>. Scegliendo opportunamente f(t) la traiettoria dello
stato in questo diagramma e' chiusa. Ancora una volta la fase
geometrica acquistata dallo stato e' proporzionale all'area racchiusa
dalla traiettoria. Questa si puo' scrivere:
phi ~ \int dt <p> d<x> (1)
Ho un paio di domande su questo problema:
a) Se le varianze di x e p variano durante l'evoluzione, per esempio a
causa di un termine g(t)*X^2 nell'Hamiltoniana, lo stato del sistema
non e' piu' coerente, ma "squeezed". In questo caso come si calcola la
fase geometrica? Si puo' sempre usare la (1)?
b) Nel caso di due oscillatori armonici accoppiati (per cui la funzione
d'onda non si puo' fattorizzare) in cui l'Hamiltoniana e' quadratica in
X_{1,2} e P_{1,2}, si puo' dimostrare che la funzione d'onda e'
gaussiana, i cui momenti dipendono dal tempo.
In questo caso come si calcola la fase geometrica?
Received on Wed Aug 23 2006 - 11:10:10 CEST