Re: Problema di meccanica statistica

From: argo <brandobellazzini_at_supereva.it>
Date: 28 Jul 2006 15:52:31 -0700

MauroM wrote:
> Considerimo una cerniera lampo formata da N legami. La parte finale destra �
> chiusa da un vincolo non specificato. Invece per le fluttuazioni termiche i
> legami possono rompersi partendo dalla parte sinistra. Se il legame n-esimo,
> partendo da sinistra, � rotto allora tutti i legami alla sinistra di questo
> sono rotti. La rottura di un legame richiede un'energia uguale a \Delta>0.
>
> I possibili stati del legame sono solo due (aperto e chiuso)
>
> 1) Calcolare la funzione di partizione.
>
> Io ho fatto cos�:
> Gli stati del sistema possono essere determinati dal numero di legami aperti
> ai quali corrisponde l'energia:
> E(n) = (n-N)\Delta n = 0,1,...,N
> La funzione di partizione la calcolo su questi stati
> Z=\sum_{n=0}^{N}e^{\frac{E(n)}{KT}}=e^{N\frac{\Delta}{KT}}\sum_{n=0}^{N}e^{-n\frac{\Delta}{KT}}
> E' giusto ?

Si' e' giusto.

>
> 2) Calcolare come varia l'energia interna in funzione della temperatura, a
> bassa temperatura
> 3) Calcolare il numero di legami rotti ad alta temperatura
>
> Ho delle difficolt� con questi due quesiti perch� essedo n e N finiti non
> so come fare i conti e le approssimazioni
>
> Cosa mi consigliate?

E' semplice: detta

S(N)*\sum_{n=0}^{N} a^n=1+a+a^2+...+a^N

considera la quantita' aS(N)

aS(N)=a+a^2+...+a^{N+1}

da cui facendo la sottrazione

 aS(N)-S(N)=a^{N+1}-1=S(N)(a-1)

che risolta per S(N) da' l'espressione per N finito:

S(N)=\frac{a^{N+1}-1}{(a-1)}.

Come controllo si manda N all'infinito e si vede che la serie
geometrica non diverge per a<1 ed in tal caso va proprio alla usuale
espressione S(\infty)=\frac{1}{1-a}.

Saluti.
Received on Sat Jul 29 2006 - 00:52:31 CEST