Re: moto armonico

From: argo <brandobellazzini_at_supereva.it>
Date: 21 Jul 2006 03:29:16 -0700

Edmond wrote:
> Salve a tutti
> Ho trovato questa eq. diff. sul moto armonico.
>
> d^2x/dt^2 + 2y*dx/dt + q^2*x = 0
>
> e non comprendo da dove derivino le soluzioni che d� il libro:
>
> - se y^2 = q^2, allora:
>
> x(t) = e^(-xt) * (At +B)
>
>
> - se y^2 > q^2, allora:
>
> x(t) = A*e^(l_1*t) + B*e^(l_2*t) = e^(-yt) * [A*e^(t*sqrt(y^2-q^2)) +
> B*e^(-t*sqrt(y^2-q^2))]

Ti indico la strada che prenderei io, poi devi continuare tu perche'
tutti i conti sono noiosi.

1) chiama dx/dt=z(t)

2) ottieni un sistema di equazioni lineare del primo ordine siffatto:

dz/dt=-2y*z-q^2*x
dx/dt=z

3) scritto in forma matriciale il sistema e' della forma dv/dt=A.v dove
v(t)=(z(t),x(t)) e' un vettore a due componenti ed A e' la matrice a
coefficienti costanti di righe {-2y,-q^2} e {1,0}.

4) la soluzione formale e' v(t)=exp{t.A}v_0, con v_0 condizioni
inziali su x e dx/dt.

5) per vedere l'andamento esplicito delle soluzioni devi cercare gli
autovalori L di A:
det(A-L.Identita')=L^2+2L*y+q^2. Come vedi il discriminate e' proprio
y^2-q^2 da cui le condizioni di cui parla il testo.

6) trovati gli autovalori L1=-y+sqrt{y^2-q^2} ed L2=-y-sqrt{y^2-q^2} di
A e la trasformazione U che la diagonalizza puoi scrivere
A=U.Diag{L1,L2}.U^(-1) e quindi
exp{t.A}=U.Diag{exp{t.L1},exp{t.L2}}U^(-1)...tocca a te.

Saluti.
Received on Fri Jul 21 2006 - 12:29:16 CEST