Re: Eq. integrale

From: Aleph <no_spam_at_no_spam.com>
Date: Thu, 13 Jul 2006 10:09:16 +0200

Tetis ha scritto:

...
> "Aleph" <no_spam_at_no_spam.com> wrote:
> > Ho provato a cercare ma di equazioni di questo tipo, sebbene assolutamente
> > lecite, non ne ho trovate da nessuna parte.

> Ma da un punto di vista logico il fatto che il Kernel sia
> una funzione della funzione obiettivo non implica null'altro:
> puoi considerare f(x) come una funzione assegnata
> e questo determina il nucleo K(x,y).
...

E infatti ho scritto che si tratta di un'equazione assolutamente lecita,
anche se praticamente impossibile da risolvere.
Gi� assegnando a f(x) una forma specifica semplice (f(x) = costante ad
esempio) troverai un'espressione molto complicata per g(y); lasciando f(x)
indeterminata la forma assunta dall'eventuale soluzione g(y) diventerebbe
talmente complessa da non poter essere esplicitata.
E' questo il motivo per cui in tutte le "tavole" di equazioni integrali, o
in tutte le applicazioni pratiche, Kernel e termine noto sono in generale
esplicitati.

> > > In particolare se x>a questa equazione
> > > diventa 0 = int_{-a}^a dy g(y)(x-y) (*)
> > > che ammette una classe infinita di soluzioni:
> > > in particolare tutte le g(y) pari il cui
> > > integrale � nullo.
> > ...
> >
> > No, la soluzione di sopra, per x > a o x < -a ammette come soluzione
> > unicamente la soluzione banale g(y) = 0, come si vede immediatamente
> > sviluppando l'integrando della (*) nei due termini componeneti.

> E' per l'appunto sviluppando come dici che trovi due
> condizioni sufficienti perche' valga (*):
> int_{-a}^a g(y)x dy = 0
> int_{-a}^a g(y)y dy = 0
> identicamente verificate se g e' una funzione
> pari, con integrale nullo.
...

Ma no! La x nel primo integrale la devi portare fuori dall'integrando!

La (*) si riscrive cos�:

0 = x*int_{-a}^a dy g(y)- int_{-a}^a dy g(y)*y

che equivale all'equazione di primo grado

0 = A*x + B

la quale dovendo essere soddisfatta per ogni x > a (o x > -a) implica che
entrambi i coefficienti A e B debbano essere indipendentemente nulli,
ovvero:

A = int_{-a}^a dy g(y) = 0

e

B = int_{-a}^a dy g(y)*y = 0

La tua condizione annulla solo B non A, perch� l'integrale di una funzione
pari esteso su un intervallo simmetrico non � mai nullo a meno che,
appunto,
non sia g(y) = 0.

Il resto che hai scritto lo voglio meditare meglio.

Saluti,
Aleph



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Received on Thu Jul 13 2006 - 10:09:16 CEST

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