fenomeni di diffusione

From: Raffy <raffaele.fabiano_at_katamail.com>
Date: Mon, 10 Jul 2006 11:01:56 +0200

Proprioin questi giorni a me tornerebbe molto utile sapere se quanto
spieagtomi in questo post, sia corretto o no. So che l'autore delpost non si
offender�, visto che fu lui stesso a "pregare" Elio Fabri od altri di una
risposta, mai ottenuta.
Grazie. Lo incollo qui sotto.

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Vorrei fare un percorso a ritroso.
La prima legge di Fick dice che il flusso (ossia il numero di moli *nette*
che nell'unit� di tempo attraversa una superficie A �:

J = dn/dt = -A * D* dc/dx,

con D=RT/Nf (f= coeff. d'attrito, R cost gas, T = temp, N = numero di
Avogadro).

Questa relazione si pu� ottenere anche dalla pi� generale equazione di
Teorell:

J = U*c*X (riferita a superficier unitaria)
con U = mobilit� della sostanza che diffonde = 1/Nf
c = concentrazione a livello della sezione A (se vogliamo, a livello del
tratto dx, che � tanto piccolo che in esso si pu� considerare c = cost.) e X
� la c.d. forza coniugata al flusso, che � di solito data come derivata
(gradiente) di energia: -dW/dx. dW � l'energia spesa per spostare di dx una
mole di sostanza. Le dimensioni di X sono quandi quelle di una forza, ma
riferita ad una mole di sostanza.

Per le differenze di concentrazione di un soluto non carico, X = -du/dx, con
du il potenziale chimico
L'equazione di Teorell sarebbe quindi:

J = -U*c*du/dx

ed essendo du = RT dln c = RT dc/c, si ha:

J = -U*RT*(dc/dx) = -(1/Nf)*RT*dc/dx = -(RT/Nf)*dc/dx

Per riferirla a tutta A, devi solo moltiplicare per A, e ponendo, come
sopra, D=RT/Nf , ho ancora:

J = -A * D* dc/dx,

Questa roba � chiarissima, credo. E si riferisce al flusso *netto*
attraverso A, ipotizzando costante c lungo dx.

Ma da dove deriva J = U*c*X ?

Ho cercato ed ho troivato questo:

Il flusso netto di molecole attraverso A in dt � uguale a:

J = dn/dt = (A*dx*c)/dt = A*c*vm (vm = velocit� media).

Essendio uniforme il moto delle molecole, si ha che la forza che agisce su
esse F = R, con R = resistenza.

F = R = vm*f (f = coeff. d'attrito)

Ponendo X = F*N (N = num di Avogadro), in accordo con quanto sopra circa le
dimensioni di X, si ha:

vm = F/f = X/N*f = X*(1/N*f)

quindi:

dn/dt = A*c*vm = A*c*(1/Nf)*X

Rferendioci alla sola superficie unitaria e ponendo U = 1/NF, si ha:

J = U*c*X, con U = 1/Nf

Ora, e chiudo, dal ragionamento fatto, pare evidente che J sia un flusso gi�
netto, visto che se -dW/dx = 0 (nessun gradiente di concentrazione) si
annulla anche J.
Ma da come abbiamo costruito J, si annulla anche

vm = X/N*f

Ed � qui che io vedo il punto di congiunzione col ragionamento di Feynman
(che non � uno che si sbaglia una volta s� e una no :-)) che tu riporti:

se vm si annulla con l'annullarsi di X, non � che le molecole si fermano
;-) ma semplicemente non vi � pi� alcun flusso netto. Quindi devo dedurre
che vm sia la velocit� "netta" nel senso che si ottiene somando tutte le
velocita positive, aggiungendo a questa somma la somma di tutte le negative
e dividendo per il numero di tutte le particelle che hanno attraversato A.
Ovviamnete mi soto riferendo solo a v_x per semplicit�. E' come dire che se
in media la generica particella che si muove da destra a sinistra ha
velocit� v_a e la generica particlella che si muove in senso opposto ha
velocit� v_b, ritenendo ragionevole che v_a=v_b, allora vm =
[v_a(n1-n2)]/n1+n2 con n1 = particella che vanno da sn a dx e n2 particelle
che, sempre in dt, vanno in direzione opposta.
Quindi, riepilogando:


dn/dt = A*c*vm = A*c*[v_a(n1-n2)]/n1+n2

usando c come concentrazione a livello di dx (che � come dire lo "spessore"
di A),

Una parola in pi� su vm: pensa
che se tutte le molecole che attraversano A avessero la velocit� media vm,
cos� come definita, allora si muoverebbero tutte nello stesso verso
(o non si muoverebbero, se la velocit� fosse zero; ma nel *solo* senso che
non vi sarebbe un movimento netto). E se tutte le particelle si muovono con
vm,
allora nel tempo dt percorrono vm*dt. E considerando che nel volume A*vm*dt
= A*dx vi sia una concentrazione costante c di particelle (il valore di c
 in A), allora ecco che le particelle che avranno attraversato A
nell'unita di tempo (e non solo in dt!) saranno A*dx*c/dt.
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Grazie a tutti.
Received on Mon Jul 10 2006 - 11:01:56 CEST