Il 01 Lug 2006, 14:33, "argo" <brandobellazzini_at_supereva.it> ha scritto:
> Tetis wrote:
> > Ora tu dici:
> >
> > > Uno stato iniziale |A> evolve dunque in |A,t>=O(t)|A>.
> > > Riscrivo H(q,p,t)=U(t) H_0(q,p) U^(-1)(t)-e^2/(2w^2)E^2(t) ed osservo
> > > che gli |n'>=U(t)|n> ne sono autostati all'autovalore
> > > E'_n=E_n-e^2/(2w^2)E^2(t) per cui
> >
> > Quindi E'_n � un autovalore al tempo t per l'operatore H(p,q,t)
> > Ok � vero, ma questo come pensi ti aiuti a risolvere l'equazione di
> > Schroedinger dipendente dal tempo?
>
> Provo ad enumerare i passi cosi' e' piu facile indicarmi l'errore.
Ottima idea.
> 1) l'operatore evoluzione temporale O(t) tra 0 e t e'
>
> O(t)=Texp{-i int_[0,t] dt' H(t')}
>
> con H(q,p,t)=U(t) H_0(q,p) U^(-1)(t)-e^2/(2w^2)E^2(t).
Esatto.
> 2) |A,t>=O(t)|A> soddisfa l'equazione di
> Schroedinger dipendente dal tempo con condizione iniziale |A,0>=|A>
Per costruzione di O(t) � una costruzione standard.
> 3) |n'>=U(t)|n> sono autostati di H(q,p,t) agli autovalori
> E'_n=E_n-e^2/(2w^2)E^2(t)
Certamente, per definizione di U(t) come operatore
di traslazione, il termine numerico aggiuntivo invece
deriva dal completamento del quadrato.
> 4)O(t)|n'>=c(t)exp{-i tE_n}|n'>, con c(t) che ha norma 1 e non dipende
> da n.
E' questa l'idea che mi sembra errata. Nell'espressione esplicita
di O(t) compaiono tutti i valori a tempi intermedi della hamiltoniana.
E come dicevo inizialmente per questi operatori |n'> non � autostato:
di fatto, nell'espressione esplicita, entreranno in gioco tutti gli altri
stati.
> 5) |A,t>=c(t)somma_n exp{-i tE_n} U(t)|n><n|U^(-1)(t)|A>
Esatto (resta la dipendenza critica da 4)
> 6) <B|A,t>=c(t)somma_n exp{-i tE_n} <B|U(t)|n><n|U^(-1)(t)|A>
deduzione esatta (ma la 4?)
> 7) La domanda originaria richiedeva |A>=|0> e |B>=|1> da cui
>
> <1|O(t)|0>=c(t)somma_n exp{-i tE_n} <1|U(t)|n><n|U^(-1)(t)|0>
esatto. (la 4?)
> 8) se so calcolare <1|U(t)|n>, <n|U^(-1)(t)|0> e sommare la serie si e'
> concluso.
esatto, fra l'altro questi elementi di matrice sono l'uno il
coniugato dell'altro quindi � sufficiente � sufficiente saper
valutare il primo. (la 4?)
> 9) con le espressioni esplicite degli operatori di creazione e di
> distruzione in termini di q e p variabili canoniche si determinano
> <1|U(t)|n> e <n|U^(-1)(t)|0>
fra l'altro un modo di procedere altrettanto valido (se fosse vera la 4)
� utilizzare le funzioni di Hermite in forma esplicita. L'integrale fra
una funzione di Hermite ed una funzione di Hermite traslata �
semplicemente un integrale gaussiano e si pu� semplificare
il calcolo con la tecnica delle funzioni generatrici dei polinomi
di Hermite. Ancora un altro modo � sommare la serie degli
elementi di matrice per le potenze della derivata. Quindi senza
ricorrere allo sviluppo in operatori di salita e discesa.
> <n|U(t)^(-1)|0>=<0|U(t)^(-1)|0> 1\sqrt(n!)[eE(t)\sqrt(2w^3)]^n
> <1|U(t)|n>=<0|U(t)|0> n\sqrt(n!)[eE(t)\sqrt(2w^3)]^(n-1)
Perch� varrebbe questa identit�?
> 10) Usando i risultati precedenti e che E_n=nw+w/2 si somma la serie
> che si puo' ricondurre ad una geometrica.
Perch� dovrebbe essere una geometrica?
Somiglia piuttosto ad un'esponenziale, se non
fosse per la radice di n! dove dovrebbe esserci n!
> 11) Salvo errori di conto nella somma e nelle fasi precedenti, e
> trascurando fasi ininifluenti per la probabilita' di transizione si
> arriva all'espressione esplicita dell'ampiezza
>
> <1|O(t)|0>=exp(-iE_0 t) eE(t)/(2w^3)|<0|U(t)|0>|^2{
> -1+1/[1-(eE(t))^2/(2w^3)exp(-iwt)]}.
>
> Spero che questa scrittura per punti illustri chiaramente quello che ho
> in mente e che faciliti l'identificazione degli errori nel
> ragionamento.
In sintesi mi sembra che i punti deboli siano due: l'asserzione 4
e l'espressione esplicita dell'elemento di matrice. Per il secondo
puoi rifarti, come diceva Valter, alla metodica generale degli stati
coerenti, ovvero delle funzioni di Husimi. Mentre invece per il modo
in cui aggiustare l'argomento 4 ti consiglio di dare un'occhiata al
Merzbacher.
> Grazie, saluti.
>
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Received on Sun Jul 02 2006 - 23:11:31 CEST