Re: Meccanica quantistica

From: argo <brandobellazzini_at_supereva.it>
Date: 30 Jun 2006 01:09:33 -0700

Tetis wrote:
> quello che ti orienti a risolvere e' un problema in cui t e' un parametro e
> non la variabile tempo. Ovvero
> consideri, impropriamente, il t che compare in questa equazione come
> un parametro e non come il tempo che entra nelle equazioni di
> Schroedinger. E' come se tu andassi a risolvere - i d/dt phi = H(p,q, eta)
> phi.
>
>
> > In realta' non e' importante che la trasformazione sia canonica, anzi
> > se preferisci
>
> Se tu preferisci cosi' comunque devi fare attenzione al resto, ovvero
> rimedita il tema dell'equazione di Schroedinger nel caso in cui H
> non dipende dal tempo e nel caso in cui H dipende dal tempo.
>
> > non effettuo nessuna trasformazione, semplicemente
> > riscrivo H(q,p,t) in termini di q e p (quelle vecchie, non trasformate)
> > in maniera che si possa risolvere il problema agli autovalori di
> >
> > H(q,p,t)=U(t) H_0(q,p) U^(-1)(t)-e^2/(2w^2)E^2(t).
> >
> > Non sono forse U(t)|n> le autofunzioni dell'Hamiltoniana all'autovalore
> > E'_n=E_n-e^2/(2w^2)E^2(t)?
>
> In verita' se H dipende dal tempo non ha significato considerare il
> problema agli autovalori per l'equazione indipendente dal tempo,
> a meno di essere orientati ad argomentazioni di approssimazione
> adiabatica, siccome tu stai cercando le soluzioni esatte allora devi
> considerare l'equazione di schroedinger nella forma dipendente
> dal tempo. Siccome l'hamiltoniana non e' indipendente dal tempo
> lo schema di separazione delle variabili non si applica.
>

Perche' dici che il problema agli autovalori non aiuta a risolvere
l'evoluzione temporale? Ho sempre lavorato con H che dipende dal tempo
(ed autovettori e autovalori dipendono infatti dal tempo). Ti riporto
sotto i passi espliciti.

- i d/dt phi(x,t) = H(p,q, t) phi(x,t)
e' l'equazione di schroedinger con H che dipende dal tempo. L'operatore
di evoluzione temporale O(t) e' il prodotto T-ordinato
dell'esponenziale dell'integrale di H nell'intervallo temporale [0,t]:

O(t)=Texp{-i int_[0,t] dt' H(t')}.

Uno stato iniziale |A> evolve dunque in |A,t>=O(t)|A>.
Riscrivo H(q,p,t)=U(t) H_0(q,p) U^(-1)(t)-e^2/(2w^2)E^2(t) ed osservo
che gli |n'>=U(t)|n> ne sono autostati all'autovalore
E'_n=E_n-e^2/(2w^2)E^2(t) per cui

O(t)|n'>=exp{-i tE_n}c(t)|n'>, con c(t) che ha norma 1.

Siccome |n'> sono una base completa inserisco la completezza somma_n
|n'><n'|=identita' in |A,t> e ottengo

<B|A,t>=<B|O(t)|A>=c(t)somma_n exp{-i tE_n} <B|U(t)|n><n|U^(-1)(t)|A>

che risolve l'evoluzione temporale.
E da qui come negli altri post con |B>=|1> ed |A>=|0>.

> > Vi ringrazio sinceramente se qualcuno mi indica dove sbaglio, perche'
> > e' ragionando su problemi come questi che si impara e si migliorano le
> > conoscenze.
> >
>
> Infatti grato a te per la tenacia e l'instancabilita' :-)

Beh grazie per la pazienza :)
 ma non vorrei ''vincere o perdere la tenzone'' per stanchezza o
insistenza ma davvero desidero capire meglio.

Grazie ancora,
saluti.
Received on Fri Jun 30 2006 - 10:09:33 CEST