Il 19 Giu 2006, 21:58, "argo" <brandobellazzini_at_supereva.it> ha scritto:
> Tetis wrote:
> > Il 17 Giu 2006, 13:28, "argo" <brandobellazzini_at_supereva.it> ha scritto:
> Credo che siamo tutti d'accordo che l'ampiezza di probabilita' e'
> (esendo |n'>=U(t)|n> autofunzione dell'Hamiltoniana... vedi post di
> qualche giorno fa)
Questo � vero. Tanto che ti basterebbe questo insieme con
quel che dici poi:
> Per calcolare l'ampiezza in (*) servono le quantita' <n|U(t)^(-1)|0>
in effetti se potessimo calcolare <1| U(t) |0> per ogni t avremmo
la risposta al problema. Il problema sta nella forma della U(t)
che tu hai scritto nel post precedente:
U(t)=exp(ieE(t)p/w^2)
che implementa la trasformazione canonica (costante di Planck ridotta
la pongo =1)
q'=U(t) q U^(-1)(t)=q+e/w^2 E(t)
p'=U(t) p U^(-1)(t)=p.
� vero che l'equazione che hai scritto implementa questa trasformazione
canonica, ma il punto � che le coordinate q' e p' non sono soluzioni
delle equazioni di Heisenberg per l'hamiltoniana H(p,q,t).
In effetti un modo di risolvere � di scrivere le equazioni di Heisenberg
e risolverle. Un modo complementare � quello di passare per le
equazioni di Schroedinger dipendenti dal tempo ricordando che
sono lineari e risolverle esplicitamente per una condizione iniziale,
non � nulla di semplice ma il metodo di soluzione passa per questa
strada maestra. Metodo di Green. Seguendo questi metodi Husimi
e Feynmann hanno trovato la soluzione a cui fa riferimento dandini:
una variante di questo metodo � quella che puoi trovare illustrata sul
Merzbacher.
e
> <1|U(t)|n> che si calcolano usando le (**) e un po' di combinatorica
>
> <n|U(t)^(-1)|0>=<0|U(t)^(-1)|0> 1 \sqrt(n!)[eE(t)\sqrt(2w^3)]^n
>
> <1|U(t)|n>=<0|U(t)|0> n\sqrt(n!)[eE(t)\sqrt(2w^3)]^(n-1)
Ti accorgi subito che siccome E(t) va a zero U(t) tende all'identit�,
Tuttavia l'idea che venga fuori una serie di potenze degli operatori
di salita e discesa procedendo correttamente � molto sensata.
In effetti � coinvolta una serie geometrica di operatori, ma se
consideri le potenze degli operatori di salita e discesa questi
portano per ogni stato i coefficienti di normalizzazione, quindi
non stupisce pi� di tanto trovare una dipendenza esponenziale
dal modulo quadrato dell'integrale della forza nel tempo, ovvero
le ampiezze possono essere espresse in termini dell'impulso
trasferito.
> con la convenzione che n\sqrt(n!) per n=0 vale -1 (per gli altri valori
> il solito!).
>
> Ora che abbiamo i due contributi si nota che
>
> E_n=E_0+wn=E_(n-1)+w
>
> e quindi mettendo tutto insieme si ha la serie geometrica
>
> A(0->1)=c(t) exp(-iE_0 t) eE(t)/sqrt(2w^3)|<0|U(t)|0>|^2{
> -1+sum_n 1/n![(eE(t))^2/(2w^3)exp(-iwt)]^n}
>
> che sommata porta alla soluzione
>
> A(0->1)=c(t) exp(-iE_0 t) eE(t)/(2w^3)|<0|U(t)|0>|^2{
> -1+1/[1-(eE(t))^2/(2w^3)exp(-iwt)]}.
>
> Anche in questo caso quando t->00 A(0->1) va a zero.
> Pero' qui non ho fatto nessuna approssimazione e il conto mi sembra
> esatto.
> Naturalmente errori di conto o concettuali sono sempre in agguato...
> L'ampiezza |0>-->|0> e' piu' semplice e quell'addendo -1 nella graffa
> non appare.
>
> Saluti.
>
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Received on Tue Jun 20 2006 - 19:56:06 CEST