Re: commutatori e problemi agli autovalori

From: Mauro Prencipe <mprencip_at_libero.it>
Date: Sun, 18 Jun 2006 21:40:02 GMT

"massimilianoG" <guasomax_at_libero.it> ha scritto nel messaggio
news:1150637123.047612.92350_at_u72g2000cwu.googlegroups.com...
> From: "Guasoni Massimiliano" <guasomax_at_libero.it>
> Newsgroups: it.scienza.matematica
> Subject: commutatori e problemi agli autovalori
> Date: Sun, 18 Jun 2006 06:23:11 -0700
>
> Ho 2 operatori A e B che operano su un campo vettoriale H.
> Sapendo che i 2 operatori sono commutativi, dunque che il commutatore
> [A,B]= 0,vorrei sapere se � vero quanto segue:
>
> io cerco l'autofunzione H del seguente problema agli autovalori:
> B(H) = k* H , per un certo autovalore k fissato.
> E' forse vero che l'autofunzione H in questione � la combinazione
> lineare delle autofunzioni H' che risolvono A(H')= m* H' per un
> qualsiasi valore di m?
>
> Cio�, detta H1 l'autofunzione tale che: A(H1)= m_1+ H1;
> detta H2 l'autofunzione tale che: A(H2)= m_2+ H2;
> .
> ..........................................................................
> detta Hn l'autofunzione tale che: A(Hn)= m_n+ Hn;
> (in cui m_1, m_2, m_3,m_n...possono essere diversi tra loro)
>
> � vero che posso scrivere H (che risolve B(H) = k* H) come
> combinazione lineare di H1,H2,...Hn ( in cui con H1,H2,Hn intendo
> l'insieme di tutte le autofunzioni di A(H')= m* H', ciascuna
> eventualmente con un autovalore m diverso)?

Si � vero, ma questo non richiede la commutabilit� di A e B: se A �
un'osservabile allora dispone di un set completo di autostati (per
definizione stessa di osservabile); ci� vuol dire un qualunque vettore dello
spazio vettoriale (quindi anche un autovettore di B) pu� essere espresso
come combinazione lineare di quegli autostati (che in pratica sono una base
dello spazio vettoriale).

Se A e B commutano, un autovettore di A � anche autovettore di B (e
viceversa):

A|A> = a|A> ---> B|A> = b|A>

Ciao
Mauro
Received on Sun Jun 18 2006 - 23:40:02 CEST