fadeh ha scritto:
> studiando i moti relativi mi sono trovato a pagina 90-91 del mazzoldi
> volume 1 con qualche perplessita'.
> In particolare: sia O l'origine del sistema "fisso", O' l'origine del
> sistema "mobile", P punto che si muove. r = OP, r' = O'P.
> La relazione che lega r ad r' e': r = OO' + r'. E fin qui ci siamo.
>
> Si vuole ora calcolare la relazione che lega le velocita'. Senza dire
> niente il mazzoldi passa in coordinate cartesiane e ti dice che r =
> (x, y, z), r' = (x', y', z') con versori che cambiano nel tempo,
> deriva ecc.... Ma il mio problema e': e' proprio necessario passare ad
> un particolare sistema di coordinate?
Eh, eh... (vedi dopo).
> Io ho provato ad ottenere gli stessi risultati utilizzando solo la
> notazione vettoriale (senza riferimenti ad un particolare sistema di
> coordinate) ma senza alcun risultato. Questo un po' mi fa incazzare
> perche' secondo me c'e' un modo elegante per farlo ma io sono troppo
> stupido per capirlo.
Non sei tu che sei stupido, e' una questione delicata, tanto e' vero
che non se ne cura quasi nessuno.
Ti confido che quando, 16 anni fa, mi trovai a tenere per la prima
volta un corso di Fisica I, questo fu uno degli scogli che dovetti
superare.
E forse la soluzione non e' tanto consigliabile, almeno per uno
studente medio...
Provo a spiegartelo per cenni.
La prima questione essenziale e' aver chiaro il conceto di _sistema di
riferimento_ (brevemente "rif."), che non ha niente a che fare con le
coordinate.
Un rif. e' uno spazio *fisico* nel quale si eseguono le misure. Puoi
concretizzarlo con un laboratorio, ma poi e' necessario concepirlo
in modo piu' astratto: vedrai subito perche'.
Nel nostro problema abbiamo due rif., che chiamero' K e K', in moto uno
rispetto all'altro.
Il moto e' conosciuto e lo si puo' caratterizzare in piu' modi.
Vedremo poi.
Poi abbiamo un oggetto (che assimiliamo a un "punto materiale") che si
muove per i fatti suoi. Possiamo studiarne il moto sia rispetto a K,
sia rispetto a K', mediante due vettori funzioni del tempo: r(t),
r'(t).
I due vettori hanno origine in due punti O, O' risp. di K e di K', che
chiamero' le "origini" dei due rif., ma senza che questo abbia a che
fare con delle scelte di coordinate.
Dato che il moto di K' rispetto a K e' noto, e' noto in particolare il
moto di O' rispetto a K, che sara' descritto anch'esso da un vettore
OO' = s(t).
(Nota che in tutto questo discorso il tempo e' *assoluto*: e' lo
stesso per i due rif.)
Prima domanda: che relazione c'e' tra r(t) e r'(t)?
La risposta che si da' sempre (l'hai scritta anche tu) e'
r(t) = s(t) + r'(t).
E invece questa e' sbagliata...
E questo e' il primo punto delicato...
Il fatto e' che il punto P appartiene simultaneamente ai due rif. K e
K', che hanno per cosi' dire ciascuno il proprio spazio.
Sarebbe quindi meglio pensare a *due* punti, P e P', che sono
materialmente coincidenti, mentre P e' visto come appartenente a K e
P' appartenente a K'.
Percio' anche se O' coincidesse sempre con O, come accade in una
rotazione di K' con asse passante per O, non sarebbe corretto
identificare i due vettori r e r', perche' i due rif. hanno ingenerale
orientamenti diversi (ricorda, sono laboratori, con strumanti e tutto:
uno dei due gira rispetto all'altro).
Viceversa il vettore r si otterra' da r' applicandogli prima una
_rotazione_ che indico con R, e poi la _traslazione_ OO':
r(t) = s(t) + R r'(t). (*)
A questo punto si puo' passare alle velocita', derivando la (*)
rispetto a t, ma bisogna tener presente che anche l'operatore di
rotazione R in genere dipende da t...
Siccome uno studnete a questo punto non possiede gi strumenti
matematici per derivare l'operatore R, e' giocoforza passare alle
coordinate, che e' il calcolo che hai visto.
Una volta imparato come calcolare la derivata di [R(t) r'(t)], il
resto e' automatico, e per es. riesce abbastanza facile, derivando una
seconda volta, ricavare la formula generale per le accelerazioni.
Spero di non essere stato totalmente incomprensibile :)
e in altro post:
> La tua risposta e' perfettamente pertinente. Mi ero fissato che v =
> vOO' + v' + w ^ r' fosse una relazione vettoriale invariante per
> sistemi di coordinate e che l'avesse ottenuta dalla relazione
> vettoriale di partenza. In realta' non e' cosi', da quello che ho
> capito, ma dipende strettamente dal sistema di coordinate scelto.
E invece avevi ragione...
Come dovrei averti dimostrato sopra.
--
Elio Fabri
Received on Sat Jun 17 2006 - 20:58:35 CEST