Ho calcolato il valor medio dell'energia di un gas di fotoni e diviso
per il valor medio del numero di fotoni per lo stesso gas. Trovo un
teorema di equipartizione.
Ovvero ad ogni fotone compete mediamente un'energia pari a:
[z(4)/z(3)] (3k_bT)
rispetto alla situazione classica la differenza sta solo nel fattore
z(4)/z(3) che e' poco minore dell'unita'. Mentre il 3 k T avrebbe
un'interpretazione classica contando per ogni fotone 6 gradi di
liberta': 3 per la direzione e 2 per la polarizzazione.
Per un sistema quantizzato con distribuzione di Boltzmann
si trova, diversamente, il caratteristico andamento non lineare nella
temperatura, questo e' il modello di Einstein dei calori specifici per
un sistema di oscillatori armonici quantistici indipendenti. Approssima,
come noto, il teorema di equipartizione per una distribuzione classica
nel regime di alta temperatura.
Ovvero come noto, l'esistenza di un'energia di punto zero per un sistema
di oscillatori armonici introduce un nuovo fenomeno: il congelamento dei
gradi di liberta' a basse temperature. Un gas di fotoni non risente di
questo fenomeno e verifica un teorema di equipartizione. Analogamente
questa situazione viene ripristinata quando consideriamo le oscillazioni
degli atomi in un reticolo cristallino. Un gas di fononi si comporta
come un gas di fotoni e verifica un teorema di equipartizione. In un
reticolo concreto esiste un'energia di punto zero legata alle dimensioni
della cavita', ma normalmente viene trascurata assumendo uno spettro
continuo. Per i fotoni in una cavita' di un litro l'energia di punto
zero associata ai modi normali stazionari, ammesso che questi abbiano un
qualche significato risulta data da
h / T = c h/ cT = c h/ L = 3 10^8 x (6.62 e -34)/(10^-1) = 2 e -24 Joule
= 1.24 e -5 eV.
energia inferiorie alla presunta massa di un neutrino. La temperatura a
cui si dovrebbe osservare un fenomeno di congelamento dei gradi di
liberta' della radiazione di corpo nero sarebbe di circa 0.4 mKelvin.
Quindi meno della temperatura della radiazione di fondo. Tuttavia simili
scale di energia sono prese effettivamente in considerazione da coloro
che studiano il fenomeno della condensazione di Bose Einstein.
Per un gas quantistico la situazione alle basse temperatura e'
effettivamente che i gradi di liberta' discreti si congelano
progressivamente, nell'ordine i gradi interni associati alle
transizioni elettromagnetiche fra configurazioni differenti
(che normalmente contano poco nel computo dei calori specifici), poi i
modi vibrazionali, poi i modi rotazionali, mentre la parte continua
dello spettro non risente di questo fenomeno. Quando valuto l'energia
interna media diviso il numero medio di particelle trovo questa
equazione:
3/2 (kT) (Polylog[ +/-5/2 z] / Polylog[ +/-3/2 z] ) - mu.
Per valori di z prossimi a zero (ovvero alte temperature)
trovo il comportamento classico. Per valori di z piccoli
occorrono alcune discussioni. Qui il + vale per i bosoni
ed il - per i fermioni. Quello che mi piacerebbe e' trovare
una formulazione univalente del teorema di equipartizione.
In cui i fattori siano visti come vincoli. Esiste qualcosa del
genere? Noto che se avessimo considerato un valore di
k pari al doppio di quello effettivamente considerato avremmo
ottenuto kT come quanto di energia termica. Il 3/2 tuttavia ha
storicamente origine dalla relazione che lega PV=nRT all'energia
interna di un gas perfetto. E = 3/2 nRT. Cio' che svela il numero di
dimensioni spaziali e' in questo caso il numero 3. Mentre 1/2
e' quello che trae origine dalla preminenza storica dell'equazione
di stato. L'idea sarebbe quella di interpretare i fattori come
fattori dimensionali dello spazio delle fasi. Spero di riuscire
a trovare un argomento che sostanzi questa intuizione, ma
se qualcuno ci avesse gia' pensato ed io non lo sapessi...
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Received on Tue May 30 2006 - 18:11:36 CEST