Re: perché alla natura piacciono tanto seni e coseni?

From: bruno il pasticcere <amcova_at_gmail.com>
Date: 20 May 2006 12:50:32 -0700

c'ho speso un bel po' sulla relazione di eulero. in teoria potresti
semplicemente definire l'esponenziale tramite il suo sviluppo di
taylor, e conoscendo gli sviluppi di taylor di cosx e sinx dimostri la
relazione:

e^(ix)=cos(x)+i*sin(x)

questo � il modo pi� "banale"

ho trovato una mezza dimostrazione elementare (non ricorre a derivate):

allora, scriviamo i numeri complessi in forma polare:

rho= modulo del numero complesso z

rho=|z|

rho*cosx=Re(z)
rho*i*sinx=Im(z)

x=arg(z) (angolo formato dal vettore complesso con l'asse dei
reali...definito da arctan(Im(z)/(i*Re(z))

se moltiplichi due numeri complessi z e w, se li scrivi in forma polare
puoi notare grazie alle semplici formule di addizione per seno e coseno
che il numero complesso risultante forma un angolo pari alla somma dei
due rispettivi angoli di z e w:

[1] arg(z*w)=arg(z)+arg(w)

|z*w|=|z|*|w|

la relazione [1] ti dice MOLTO:

sia f(x) la funzione che ti associa a x reale il numero complesso di
modulo unitario pari a:

f(x)=cos(x)+i*sin(x)

abbiamo visto che:

f(x+y)=f(x)*f(y)

e sappiamo che f(x) � continua (� somma di due funzioni continue)

mettendo insieme queste due propriet� puoi dedurre che � un
esponenziale (non sai ancora la base per�).

Per dimostrarlo:

notiamo che:

f(x-y)=f(x)/f(y)

infatti: f(x)=f(x-y+y)=f(x-y)*f(y)

poi notiamo che:

siano m e n interi relativi:

f(nx)=f(x+x+x...+x)=f(x)*f(x)*f(x)*...f(x)=[f(x)]^n

e sappiamo che vale anche per n negativo


f[n*m/n*x]=[f(m/n*x)]^n

f[n*m/n*x]=f(mx)=[f(x)]^m

[f(m/n*x)]^n=[f(x)]^m

f(m/n*x)=[f(x)]^(m/n)

quindi possiamo affermare che per q razionale qualsiasi:

f(qx)=[f(x)]^q

� valida anche per q=0, infatti

f(x)=f(x+0)=f(x)*f(0)

da cui segue che f(0)=1 (perch� f(x) non � sempre nulla)

quindi f(0*x)=[f(x)]^0=1

ok!

allora dicevamo, abbiamo dimostrato grazie alla sola propriet� che
f(x+y)=f(x)*f(y) che f(qx)=f(x)^q per q razionale qualsiasi.

ora per dimostrare che f(rx)=f(x)^r per r reale qualsiasi, prendiamo
una successione di razionali q che converge al numero irrazionale r.
sappiamo che per ogni elemento q della successione f(qx)=f(x)^q, e
sappiamo che f(x) � continua, per cui deduciamo che f(rx)=f(x)^r

ora che sappiamo che:

f(rx)=f(x)^r,

possiamo riscrivere f(x) come

f(x)=f(1)^x

per cui voil�, abbiamo dimostrato che la funzione:

cos(x)+i*sin(x)=f(1)^r

dove f(1)=cos(1)+i*sin(1)

manca ancora dimostrare che f(1) � proprio e^i, per� puoi gi� vedere
perch� i numeri complessi siano legati all'esponenziale: viene tutto
da quell'addittivit� degli angoli nelle moltiplicazioni e dalla
continuit�.

Purtroppo credo che per dimostrare che la base � proprio e^i non si
scappi dall'analisi, e questo perch� il numero e stesso � definito
dall'analisi.

un modo potrebbe essere che se tu dici che la relazione:

d[a^x]/dx=ln(a)*a^x

vale anche per a complesso, allora puoi vedere chiaramente che:

df/dx=-sin(x)+i*cos(x)=i*f(x),

da cui ln(a)=i

tutti i metodi a questo punto credo siano simili, si basano sull'idea
che puoi definire il limite (a^x-1)/x per x tendente a 0 anche per a
che non � reale
Received on Sat May 20 2006 - 21:50:32 CEST