Re: una carica si muove di moto uniforme crea un campo magnetico?

From: bruno il pasticcere <amcova_at_gmail.com>
Date: 13 May 2006 12:15:35 -0700

Be', prima di tutto:

il campo elettrico della carica in mru, quando ha velocit� v diversa
da 0, non va come 1/r^2, ha un andamento un po' pi� complicato.
Dipende anche dall'angolo theta che forma il tuo raggio con il vettore
velocit�.

La formula �:

E=(q/(4piepsilon)*(1-v^2/c^2)*[1-(v^2/c^2*sin(theta^2)]^(-3/2)*1/r^2

Ci sono diversi modi di dedurla. Ora � pi� usato dedurla dal campo
elettrostatico della carica ferma con delle trasformazioni
relativistiche.
Ma non � necessario sapere relativit� per trovarla. In realt� ci si
pu� arrivare semplicemente usando le equazioni di Maxwell.

Seconda cosa, anche se il campo andasse come 1/r^2 nel riferimento in
cui la carica � in moto, non credo sia giusto il tuo modo di calcolare
il flusso. Il flusso non � solamente campo per superficie, ma
l'integrale di campo PRODOTTOSCALARE dS.

E poi chi ti dice che r(t) (la distanza dal punto in cui calcoli il
campo e la carica) va come v*t ?

sia theta(0) l'angolo che r(t) forma all'istante 0 con v.

r^2(t)=[(r(0)*cos(theta(0))-vt)^2+(r(0)sin(theta(0))^2]=r^2(0)-2r(0)cos(theta(0)vt+v^2*t^2


come vedi ha un'andamento un po' pi� complicato.

Posso dirti in breve perch� il campo elettrico della carica in mru non
va come q/r^2.

Il campo 1/r^2 � soluzione delle equazioni di maxwell per E se supponi
che C(E)=0 (campo conservativo). Qui invece hai un campo magnetico
variabile quindi non � vero che C(E)=0, e quindi il campo 1/r^2 non �
pi� una corretta soluzione.

Prima di darti una traccia su come trovare il campo elettrico e
magnetico della carica in mru, devo farti notare una cosa: � vero che
i campi elettrici e magnetici sono variabili nel tempo, ma non
significa per questo che la carica debba irraggiare.

Vedila in questo modo: puoi dire con le eq di Maxwell che la
circuitazione di E dipende da dB/dt, ma viceversa puoi anche dire che
data la circuitazione di E determini dB/dt.
Idem per la relazione tra circuitazione di B e dE/dt.
Il campo ha una forma tale a ogni istante per cui le circuitazioni sono
tali da darti esattamente la dE/dt e la dB/dt che serve per fare
cambiare il campo, ossia in questo caso il campo "si sposta" a
velocit� v insieme alla carica; una definizione pi� precisa di questa
affermazione � dire che le soluzioni del campo E e B per la carica in
mru sono:

E(x,y,z,t)=E(x-vt,y,z)

B(x,y,z,t)=B(x-vt,y,z)

che � coerente con il fatto che la distribuzione di carica e di
densit� di corrente nello spazio si sposta anche essa a velocit� v:

rho(x,y,z,t)=rho(x-vt,y,z)
J(x,y,z,t)=J(x-vt,y,z)

Questo significa che il campo di per se ha una forma tale per cui le
regioni di spazio vuoto trasmettono spontaneamente energia e qm alle
regioni adiacenti.

Trovare la soluzione del campo con le equazioni di maxwell non �
semplice, per� intuitivamente ragionando sulle simmetrie e sulle eq di
maxwell si possono dedurre alcune cose che ti semplificano la
risoluzione del problema.

Per prima cosa, vedi subito che il campo ha simmetria di rotazione
attorno all'asse dato dalla carica e dalla sua velocit�. Se esprimi il
campo in coordinate sferiche: r=distanza dalla carica, theta angolo tra
raggio vettore e velocit�, phi la "longitudine" (cio� l'angolo di
rotazione rispetto all'asse), ti viene che i campi non dipendono dalla
variabile phi.

Notiamo un'altra simmetria dei campi E e B: E(+theta)=E(-theta), con
theta che va da 0 a pi.

Alla fine sfruttando simmetrie, circuitazioni e flussi si dovrebbe
potere dedurre che c'� un campo elettrico radiale E che dipende da r e
da theta, e un campo magnetico lungo linee circolari che dipende anche
lui da r e da theta.

A questo punto usi le equazioni di maxwell in questo modo: fai
circuitazioni e flussi su curve e superfici di dimensioni infinitesime,
per cui ti verranno delle relazioni con le derivate parziali di E e di
B.

Ti compariranno per via delle leggi dell'induzione anche dei termini di
derivazione rispetto al tempo, ma puoi convertirli in derivazione
rispetto allo spazio ricordando che la carica � in mru:

DE/Dt=DE/Dr*Dr/Dt+DE/Dtheta*Dtheta/Dt

Dr/Dt=-vcos(theta)

Dtheta/Dt=(v/r)*sin(theta).

e alla fine dovrai risolvere le eq alle derivate parziali nelle
variabili r e theta.

Ah a proposito, credo che dalla legge di gauss si possa dedurre che il
campo E si possa scrivere nella forma:

E=1/r^2*f(theta)

cio� si possono separare le variabili r e theta.

Infatti, se fai il flusso del campo E attraverso una superficie chiusa
infinitesima, che � delimitata da r e r+dr, theta e theta+dtheta, phi
e phi+dphi, il flusso � circa:

d(E*r^2)*angolosolido(dtheta*dphi)

questo flusso dev'essere nullo (nello spazio vuoto non c'� carica, per
cui:

d(E*r^2)*angolosolido(dtheta*dphi)=0

dividi per angolosolido(dtheta*dphi)*r^2*dr (che rappresenta il volume
di quella superficie chiusa infinitesima):

(1/r^2)*d(E*r^2)/dr=0

d(E*r^2)/dr=0

da cui deduci che E*r^2 dipende solo da theta.

E*r^2=f(theta)

E=f(theta)/r^2



calcoliamo il flusso di E attraverso una calotta sferica che forma un
angolo theta rispetto alla velocit� v, centrata ovviamente sulla
carica:

integrale da 0 a theta di [1/r^2*f(s)*2pi*r*sin(s)*r*ds]=integrale da 0
a theta di [2*pi*f(s)*sin(s)] *ds

come vedi il flusso non dipende da r ma solo dall'angolo theta della
calotta.

quindi sia flusso(E)=g(theta)

dflusso(E)/dt=dg/dtheta*dtheta/dt)=2*pi*f(theta)*sin(theta)*(v/r*sin(theta))

facciamo la circuitazione di B lungo il bordo della calotta (ricordando
che per definizione mu_0*epsilon_0=1*/c^2) e usiamo la legge
dell'induzione per avere:

B*2pi*r*sin(theta)=(mu_0*epsilon_0)*2*pi*f(theta)*sin(theta)*(v/r)*sin(theta)

[*] B=(v/c^2)*f(theta)*sin(theta)*(1/r^2)=(1/c^2)*v*E*sin(theta)

ossia B=(1/c^2)*v(prodottovettore)E .... questa relazione torna spesso
comoda, ovviamente vale solo per i campi di una singola carica in moto,
ma puoi riutilizzarla quando ad esempio hai diverse cariche che si
spostano tutte con la stessa velocit�)


ok, allora ci resta solo da trovare la misteriosa f(theta), usiamo
quindi l'altra legge dell'induzione.

Calcola la circuitazione di E su una curva infinitesima delimitata da
(r,theta), (r+dr,theta), (r+dr,theta+dtheta),(r,theta+dtheta). Questa
vale circa:

-d(E)/dtheta*(dtheta)*dr

la circuitazione dev'essere pari a -dflussoB/dt, cio� in questo caso
flusso di (-dB/dt)

(-dB/dt)*r*dtheta*dr

d(E)/dtheta*(dtheta)*dr=(dB/dt)*r*dtheta*dr

[**] dB/dt=[dE/dtheta*1/r]

ora tu sai che:

dB/dt=dB/dtheta*dtheta/dt+dB/dr*dr/dt

dtheta/dt=v/r*sin(theta)

dr/dt=-vcos(theta)


quindi

dB/dt=dB/dtheta*v/r*sin(theta)+dB/dr*[-vcos(theta)]


abbiamo visto prima che:

E=1/r^2*f(theta)

B=1/r^2*f(theta)*(v/c^2)*sin(theta)


arrivi finalmente con sostituzioni all'equazione differenziale:

(df/dtheta)*[1-(v^2/c^2)*sin(theta)^2]=3*(v^2/c^2)*f*cos(theta)*sin(theta)


la riscrivi come:

(df/dtheta)*(1/f)=3*(v^2/c^2*cos(theta)*sin(theta))/[1-(v^2/c^2)*sin(theta)^2]

il termine a sinistra � derivata del log naturale di f, quello a
destra � la derivata di (-3/2)*log([1-(v^2/c^2)*sin(theta)^2])

quindi:

log(f)=(-3/2)*log([1-(v^2/c^2)*sin(theta)^2]+c

f=k*[1-(v^2/c^2)*sin(theta)^2]^(-3/2)

per cui abbiamo quasi trovato l'espressione di E (ci manca solo la
costante arbitraria k)

E=1/r^2*f=(1/r^2)*k*[1-(v^2/c^2)*sin(theta)^2]^(-3/2)


per trovare k imponi semplicemente che il flusso di E su una sfera sia
pari a q/epsilon....

abbiamo rispettato tutte le equazioni di maxwell?

B�, vediamo: legge di gauss per il campo elettrico: l'abbiamo usata
nei calcoli, quindi � rispettata

legge di faraday-lenz: l'abbiamo usata nei calcoli, quindi �
rispettata:

legge di gauss per il campo magnetico: il campo ha linee circolari e
non dipende dall'angolo di rotazione phi, per cui il flusso � sempre
nullo: rispettata;

legge di maxwell/ampere: l'abbiamo usata nello spazio vuoto, e viene
rispettata...abbiamo rispettato anche la legge di gauss per il campo
elettrico, quindi dovremmo automaticamente averla rispettata anche
nelle zone in cui c'� una densit� di corrente: data una qualsiasi
curva chiusa su cui calcoli la circuitazione, puoi scegliere tu una
qualsiasi superficie su cui calcolare il flusso del vettore
J+epsilon*dE/dt...quindi puoi fare una superficie che viene "bucata"
dalle linee di flusso solo nelle zone in cui J � nullo.
Received on Sat May 13 2006 - 21:15:35 CEST