Ciao,
"dimostrare che con un cambio opportuno di coordinate la
metrica di Robertson - Walker (con parametro fissato k=-1 e a(t) = t)
non e' altro che la metrica dello spazio di Minkowski"
La domanda � scritta in modo fuorviante: la metrica NON dipende dalle
coordinate, � un concetto intrinseco. La domanda in termini corretti
sarebbe:
"dimostrare che la metrica di Robertson - Walker con parametro fissato
k=-1 e a(t) = t, (in una regione di tale spaziotempo) coincide con la
metrica
dello spazio di Minkowski ristretta ad una regione di tale
spaziotempo".
La metrica di R-W con k=-1 w a(t) = t si scrive esplicitamente:
-dt^2 + t^2 dR^2 + t^2 sh^2 R dOmega
dove dOmega � la metrica sulla 2-sfera di raggio unitario.
La soluzione io la vedo ad occhio (ma sono allenato!)
Poni r := t sh R e T = t ch R
ed il gioco � fatto, la metrica scritta sopra, si riduce, nella
regione
dello spaziotempo di R-W dove la trasformazione (t, R) -> (r,t) �
biettiva differenziabile con inversa differenziabile alla forma:
-dT^2 + dR^2 + R^2 dOmega
che � la metrica di Minkowski scritta in coordinate polari.
Ti lascio da studiare quanto sia grande la regione suddetta
in R-W e a quale regione dello spaziotempo di Minkowski
corrisponda...
Metodo generale? Non c'�! Come ho fatto io: ho guardato la parte a
simmetria sferica e il fattore davanti a dOmega non poteva che essere
la coordinata radiale della metrica di Minkowski r := t sh R,
altrimenti
lo spaziotempo avrebbe dovuto ammettere due tipi di simmetria sferica
che mi pareva ben poco probabile.
Per esperienza (teoria dello spazio di Rindler, qui con spazio
scambiato con il
tempo) conosco che r := t sh R, T = t ch R
porta alla forma Minkowskiana della metrica in 2D...
Ciao, Valter
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Valter Moretti,
Dip. Matematica - Univ. Trento
http://www.science.unitn.it/~moretti/home.html
Received on Mon May 01 2006 - 13:30:42 CEST