"Riccardo Maffei" ha scritto:
> Sia y=f(x) una funzione derivabile.
> Potremmo supporre che il grafico sia il profilo di un paesaggio con delle
> colline.
>
> Supponiamo che sia f(x) non negativa. Anche se non � necessario.
> Ad altezza h=f(0) poniamo una pallina di massa m con velocit� nulla e sia
> f'(0)<0 [la derivata in x=0]
> La pallina � sottoposta alla forza peso e alla reazione R. Supponiamo che
> non ci sia attrito.
> La domanda � : quali caratteristiche deve avere la curva affinch� la pallina
> rimanga sempre aderente alla curva?
...
Suppongo che il moto avvenga in un piano verticale.
Fino a quando la pallina (punto materiale) segue il profilo della collina,
la sua velocita' e' determinata dalla conservazione dell'energia,
v(x) = SQRT[2*g*(f(0) - f(x))],
(supponendo che f(0) sia il punto piu' alto della collina),
la condizione per cui la pallina rimane aderente alla collina e' che
l'intensita' P della proiezione della forza peso nella direzione ortogonale
a quella del profilo della collina sia maggiore o uguale alla intensita' Fc della forza
centripeta (diretta verso il centro di curvatura della traiettoria) che agisce sulla pallina,
se teta e' l'angolo che la tangente alla collina nel punto f(x) forma con
la direzione orizzontale si ha f'(x) = tan(teta), e quindi
P = m*g*cos(teta) = m*g / SQRT(1 + f'(x)^2),
inoltre si ha Fc = m*v(x)^2 / R, ove R e' il raggio di curvatura
nel punto f(x), dalla geometria si sa che
1/R = |f''(x)| / (1 + f'(x)^2)^(3/2), pertanto la condizione richiesta si
riconduce alla disuguaglianza:
m*g / SQRT(1 + f'(x)^2) > m*2*g*(f(0) - f(x))*|f''(x)| / (1 + f'(x)^2)^(3/2)
che implica:
a) 1 + f'(x)^2 > 2*(f(0) - f(x))*|f''(x)|.
Quanto sopra vale se f''(x) e' negativa o nulla, altrimenti se f''(x)
e' positiva allora la collina e' localmente convessa e la
pallina non puo' comunque lasciare il suo profilo.
Pertanto, nota la f(x), la pallina lascera' eventualmente la collina in
corrispondenza al piu' piccolo dei valori positivi di x che siano
soluzioni della a), che soddisfi anche alla condizione f''(x) < 0.
Ciao
--
Giorgio Bibbiani
Received on Thu Apr 13 2006 - 17:42:52 CEST