Re: un caso ideale in cui una carica mantiene il moto circolare uniforme

From: <amcova_at_fastwebnet.it>
Date: 4 Apr 2006 11:14:11 -0700

Mi sono ricordato dei potenziali ritardati, che in questo caso aiutano
a trovare una soluzione in un modo un po' pi� semplice che risolvendo
le equazioni di maxwell.

Il contributo di potenziale che una carica q da in un punto a distanza
r � pari a 1/(4*pi*epsilon0)*q/r, per� questo valore arriva con un
ritardo pari a r/c.

Nel nostro problema: la carica ruota con velocit� angolare w, su un
cerchio di raggio R centrato nell'origine degli assi e che risiede nel
piano xy.

L'angolo formato da un punto della circonferenza rispetto all'asse
delle x � theta.

Per la carica, theta(t)=w*t

Voglio valutare il potenziale in un punto P di dello spazio, di
coordinate (x,y,z). Sentir� dalla carica un potenziale pari a q/d,
per� d non � la distanza che c'� tra il P e la posizione attuale
della carica: � invece la distanza che c'� dal punto alla posizione
della carica di un po' di tempo fa.

Risolvo il problema in questo modo:

Q(t): posizione della carica al tempo t

d(theta)=distanza tra il punto P e un punto sulla circonferenza che
forma un angolo theta con l'asse x.

d(theta)= [(x-Rcos(theta))^2+(y-Rsin(theta)^2+z^2]^(1/2)


T: ritardo di tempo

theta(t)=wt

devo trovare T tale che:

d(w*(t-T))=c*T

Una soluzione T esiste per forza: d(theta) � limitato tra un valore
massimo e uno minimo, entrambi positivi, mentre cT inizia a 0
nell'origine ed � strettamente crescente.

Potrebbero esistere varie soluzioni T, per un certo punto P all'istante
t. Questo significa che il punto sente contemporaneamente potenziali
generati dalla carica in istanti diversi del passato.

Troviamo cos� il ritardo di tempo T e quindi la posizione passata
della carica a cui ci dobbiamo riferire.

Usando questo modo "geometrico" per calcolare il potenziale (trovare il
punto sulla circonferenza in modo che la distanza sia proprio c*T),
vediamo subito che la soluzione ruota e trasla in modo solidale alla
carica.

Quindi mi sembra che, anche se non ho trovato la soluzione esplicita
del campo, ho trovato una soluzione per i potenziali elettrodinamici
che effettivamente ruota e trasla insieme alla carica.

In questo modo ho rispettato:

grazie al metodo dei potenziali ritardati

-le equazioni di maxwell

e grazie alla rototraslazione del campo, che fa s� che l'energia
totale del campo non vari nel tempo, e la quantit� di moto sia sempre
esattamente opposta a quella della carica:

-la conservazione della quantit� di moto

-la conservazione dell'energia



Per chi conoscesse bene le equazioni di maxwell, ma non ha bene
presente i potenziali ritardati:

Sono il potenziale scalare V e il potenziale vettore A:
 *
V=(1/(4*pi*epsilon))*q(t-d/c)/d
Ax=(mu/4*pi)*Jx(t-d/c)/d
Ay=(mu/4*pi)*Jy(t-d/c)/d
Az=(mu/4*pi)*Jz(t-d/c)/d

per ricavare il campo elettrico E e il campo magnetico B dai
potenziali, si usano queste relazioni:

B=rot(A)

-grad(V)=E+dA/dt (dove d/dt indica una derivata parziale)

da cui

E=-dA/dt-grad(V)

Per trovare le espressioni esplicite di V e A al punto * si usano anche
la condizione:

div(A)=0

insieme alle equazioni di Maxwell
Received on Tue Apr 04 2006 - 20:14:11 CEST