un caso ideale in cui una carica mantiene il moto circolare uniforme

From: <amcova_at_fastwebnet.it>
Date: 31 Mar 2006 09:34:34 -0800

Ciao, immagino abbiate tutti presente il famoso problema della carica
in moto circolare uniforme: c'� un'accelerazione centripeta quindi non
mantenere quel moto perch� perde energia con l'irraggiamento.

In sostanza uno dei motivi per cui la carica irraggia � che deve
trasmettere le variazioni di campo al resto dello spazio.
Ci sono casi in cui il campo � variabile nel tempo, ma la carica non
irraggia: la carica in moto rettilineo uniforme. Ok, non saltate alle
conclusioni dicendo: "s� ma l� la carica non accelera". In realt�
volevo sottolineare una cosa: ci sono delle onde elettromagnetiche, ma
non vengono emesse dalla carica. Sono delle zone dello spazio vuoto che
trasmettono energia/quantit� di moto ad altre zone (infatti la
densit� d'energia e di quantit� di moto in un punto fissato cambiano
nel tempo). Tutto questo � coerente con l'equazione d'onda (equazione
di D'Alembert).
Se la carica si muove a velocit� v lungo l'asse x, significa che
stiamo cercando una soluzione f dell'equazione di D'Alembert tale che
f(x,y,z,t)=f(x-vt,y,z). Il campo cio� varia nel tempo, per� in un
modo particolare: � come se avessimo un campo elettrico e magnetici
che traslano lungo l'asse x a velocit� v.

Ora mi stavo chiedendo se � possibile mantenere una particolare
situazione (premetto che � un caso puramente ideale e matematico):

1-c'� una sola carica nello spazio
2-la quantit� di moto totale del sistema (carica pi� campo) � nulla
3-la carica � in moto circolare uniforme intorno a un punto
4-il campo elettromagnetico varia, ma in un modo specifico: ruota e
trasla mantenendo la stessa posizione e lo stesso orientamento rispetto
alla carica.
E' come se disegnassimo il campo su una tavola infinita, che per� �
fissata con un chiodo alla carica (e non la tavola pu� ruotare intorno
al chiodo): quindi trasla e ruota solidalmente alla carica.

Pi� matematicamente:

Sia R(x,y,z,t) la trasformazione che esprime la rototraslazione:

(x',y',z')=R(x,y,z,t)

E sia g(x,y,z) una funzione che va da R^3 in R^3, che associa a ogni
punto dello spazio un vettore di campo elettrico, o di campo magnetico.

Il campo elettrico variabile nel tempo si pu� esprimere come:

g(R(x,y,z,t))

Cio� g composto R.
Avremmo quindi una funzione del campo che con opportune trasformazioni
si riduce da 4 variabili (spazio+tempo) a 3 variabili (solo spaziali).

Ora, dato che la carica � in moto circolare uniforme, la sua energia
cinetica non varia, cos� come non cambia l'energia del campo (infatti
� sempre lo stesso campo che trasla e ruota).

Per quanto riguarda la quantit� di moto, si mantiene nulla.
Fissato un certo istante, la quantit� di moto della carica e la
quantit� di moto totale del campo sono uguali e opposte in modulo.
La carica ruota in moto circolare uniforme: la quantit� di moto rimane
costante in modulo, ma ruota.
Ma dato che la trasformazione che subisce il campo nel tempo � di
semplice rototraslazione, la quantit� di moto del campo rimane
costante in modulo, e ruota esattamente allo stesso modo della
quantit� di moto della carica, per cui si mantengono esattamente
opposte.

Ora il dubbio che avrete �: ma la carica ha accelerazione centripeta,
quindi irraggia per forza! Come fa a conservare la sua energia
cinetica?

Il fatto � che la carica non solo irraggia, ma assorbe anche potenza
dalle onde elettromagnetiche che le arrivano dal campo. La potenza
entrante bilancia esattamente quella uscente.
Questo spiega la conservazione dell'energia della carica e del campo:
la potenza scambiata tra campo e carica � complessivamente nulla in
ogni istante.

Analizziamo in dettaglio le forze a cui � sottoposta la carica:
scomponiamole in una componente tangenziale alla circonferenza e una
componente lungo il raggio.
La carica irradiando subisce una variazione di quantit� di moto
tangenziale, ma la componente tangenziale della forza che subisce dal
campo elettromagnetico � esattamente opposta. Resta cos� solamente la
componente radiale, che le da l'accelerazione centripeta, cambiando la
direzione della quantit� di moto del campo senza fare lavoro.

Purtroppo non ho verificato analiticamente se questo tipo di situazione
� ammissibile secondo le equazioni di maxwell, e se la forza
complessiva che subisce in ogni istante la carica � esattamente una
forza centripeta.

Dato che la carica � in moto circolare uniforme, la velocit� non
cambia in modulo, quindi non cambia la sua massa e quindi la forza
centripeta avrebbe modulo pari a m(v)*v^2/R

Qualcuno potrebbe verificare se questa situazione � ammissibile almeno
matematicamente?

Grazie
Received on Fri Mar 31 2006 - 19:34:34 CEST