Nodi di Funzioni d'Onda in R^N (N>1)

From: Dario <mafiguratisetipassolamail_at_mail.com>
Date: Wed, 29 Mar 2006 16:10:30 +0200

La funzione d'onda esatta, sconosciuta, dello stato fondamentale
dell'atomo di Berillio (eq. Di Schroedinger non relativistica, S=0 L=0,
nucleo a massa infinita) e' una funzione di 12 variabili spaziali (tre
coordinate per ognuno dei quattro elettroni) che indichiamo con
x1,y1,z1,x2,y2,z2,x3,y3,z3,x4,y4,z4, piu' le variabili di spin.

Per comodita' introduciamo anche i simboli per le distanze di ogni
elettrone dal nucleo (nell'origine): r1 = sqrt[x1^2+y1^2+z1^2] e
analogamente r2,r3 e r4.
Definiamo anche rij = sqrt[(xi-xj)^2+(yi-yj)^2+(zi-zj)^2] la distanza
tra I due elettroni i e j.

La funzione d'onda e' antisimmetrica rispetto allo scambio delle
coordinate (spaziali+spin) di due elettroni qualsiasi. E' possibile in
certe condizioni (ne avevamo gia' discusso con Tetis in un vecchio topic
dal nome "gradiente nullo") dimenticarci delle variabili di spin
(assegnando lo spin ai vari elettroni) e trattare solamente una funzione
delle sole coordinate spaziali.
Di questa funzione, in 12 variabili, si cercano delle approssimazioni il
piu' possibile accurate, con vari algoritmi (tralasciamo il fatto che e'
possibile ridurre il numero di variabili giocando sulla simmetria
sferica del sistema).

A me interessano i *nodi* di questa funzione, e in generale i nodi delle
funzioni d'onda. Per nodo intendo l'insieme dei punti per cui la
funzione e' nulla.

Poiche' la funzione d'onda esatta non e' nota, normalmente si utilizzano
funzioni approssimate, ad esempio ottenute con il metodo di Hartree-Fock.
Si puo' dimostrare che i nodi di una funzione approssimata di tipo
hartree-fock sono descritti dall'equazione (r1-r2)*(r3-r4) = 0

Una funzione d'onda approssimata (molto brutta a dire la verita')
potrebbe essere Exp[a(r1+r2+r3+r4)]*(r1-r2)*(r3-r4) dove a e' un parametro.

Ora, la ipersuperficie nodale r1=r2 divide lo spazio R^12 in due parti,
e cosi' fa anche la superficie r3=r4. I due nodi si interesecano
perpendicolarmente (come avevamo discusso nel topic "gradiente nullo") e
quindi dividono lo spazio in 4 regioni distinte (chiamate "regioni
nodali"): in due la funzione d'onda assume un valore positivo, nelle
altre due assume un valore negativo.

Ci si chiede se la topologia dei nodi della funzione d'onda esatta
(sconosciuta) sia identica a questa. La risposta e' no. Nel caso del
berillio si puo' dimostrare che la funzione d'onda esatta ha solamente
*due* regioni nodali: una positiva e l'altra ovviamente negativa. E
infatti se costruiamo una funzione approssimata migliore (non entro nei
dettagli) e cerco di disegnare i nodi (facendo delle sezioni) si vede
che effettivamente c'e' una specie di "fusione" delle due regioni
positive, e cosi' per le due regioni negative.

Un modello approssimato di questo nodo e' l'equazione (r1-r2)*(r3-r4) +
k(r13^2-r14^2-r23^2+r24^2) = 0, dove k e' un certo parametro.

A me interessa generalizzare queste osservazioni a sistemi con piu'
particelle, e subito mi scontro con dei problemi matematici. Ad esempio:

1) Data una funzione in R^N (la mia funzione approssimata) e' possibile
dire quanti nodi ha? Per funzioni in una dimensione posso mettermi a
contare le radici, che magari posso ricavare numericamente, ma in R^N?
Della funzione ho normalmente qualche informazione in piu', ad esempio a
che gruppo di simmetria appartiene e che soddisfa una equazione di
Schroedinger. Ad esempio siste un metodo per studiare l'equazione
precedente e dimostrare che definisce una sola superficie nodale che non
si autointerseca? Se fosse cosi' non dovrei avere mai dei punti dove sia
la funzione sia il suo gradiente sono nulli; ma mi e' sufficiente questa
osservazione?

2) si congettura, e tutte le prove numeriche confermano, che la funzione
d'onda esatta dello stato fondamentale di un sistema di elettroni abbia
sempre solo un nodo, e due regioni nodali, per quanto grande sia il
numero di elettroni. Ma nessuno e' riuscito a dimostrare la cosa, per
ora. Volendo studiare numericamente sistemi con piu' di 4 elettroni, si
puo' vedere che sempre, le funzioni d'onda approssimate di tipo
hartree-Fock generano almeno 4 regioni nodali, e quindi danno
invariabilmente una topologia errata dei nodi, se la congettura e' vera,
come pare essere. Tipicamente per migliorare la funzione d'onda si
aggiungono dei termini, ad esempio: psi = psi_HF + k psi_1. Mi chiedo se
sia sempre vero, come succede per il berillio, che l'aggiunta di un
termine "opportuno" cambi il numero di regioni nodali. Anche qui, a
parte i ragionamenti sul gradiente nullo (che comunque non e' per nulla
facile da studiare numericamente) c'e' qualche altro strumento che posso
utilizzare?

3) Ho trovato un teorema (Morse se non ricordo male) che dice che
"genericamente" i nodi delle autofunzioni non si autointersecano. Pero'
se non ho capito male questo teorema non mi e' molto utile perche' parla
di una proprieta' "generica", e non posso escludere che il mio caso
(potenziale coulombiano) non sia un caso particolare. E' cosi'?

4) ci sono poi delle osservazioni curiose. Ad esempio, in realta' la
funzione del berillio e' descritta meglio con un fattore del tipo
(r1^2-r2^2)*(r3^2-r4^2). A cui poi posso aggiungere la correzione +
(r13^2-r14^2-r23^2+r24^2). E' un caso che questi siano polinomi armonici?

5) ne ho altre di domande, ma per ora mi fermo qui... :)

ciao Dario
Received on Wed Mar 29 2006 - 16:10:30 CEST