"Aleph" <no_spam_at_no_spam.com> wrote in message
news:durvae$d4f$1_at_news.newsland.it
> Tetis ha scritto:
>
> ...
> > Spero di contribuire utilmente con alcune osservazioni
> > e distinzioni terminologiche:
>
> > a) lo stato termodinamico e' caratterizzato da grandezze
> > omogenee quindi come poi sostiene Giorgio non si da'
> > nemmeno l'opzione, in termodinamica, all'esistenza di
> > stati di non equilibrio. Sono soggetti esterni alla ricerca.
>
> La precisazione mi pare pleonastica: che la termodinamica si occupi
> soltanto di sistemi all'equilibrio termodinamico � vero, ma se sappiamo
> dalla termodinamica come caratterizzare uno stato di equilibrio, sappiamo
> anche, come complemento a tale definizione, come riconoscere uno stato di
> non equilibrio.
Non e' esattamente come dici. Questo e' un giudizio
che risente di una confusione legata ad una comune
mancanza del senso di prospettiva storica. La termodinamica
e' stata fondata in effetti su un'astrazione che non
aveva piena presa sulla concretezza degli oggetti a cui
si applicava. A volte, alcuni enunciati circa le leggi
della termodinamica peccavano di aristotelismo, con
frasi come: "Un sistema gassoso tende spontaneamente allo
stato di equilibrio termodinamico se non interviene una causa
a turbarne l'equilibrio".
Questa difficolta' era presente fin dal tempo
di Carnot, e furono molteplici i tentativi anteriori a
Boltzmann di utilizzare la meccanica analitica per ottenere
le "leggi" della termodinamica. Quello che emerge ad una
analisi attenta di una grandissima collezione di sistemi
termodinamici e' che
lo stato di equilibrio, inteso come stato in cui le grandezze
misurabili rimangono costanti ed omogenee __non esiste__.
Per questo avevo aggiunto subito il passo che hai poi
cancellato:
b) tuttavia le fluttuazioni sono un soggetto di studio della
termodinamica statistica. Che io sappia e' con Einstein,
quindi dopo il contributo di Boltzmann, Gibbs, Jaynes che lo
studio delle fluttuazioni entra a far parte delle termodinamica.
> ...
> > c) In meccanica statistica lo stato di equilibrio termodinamico
> > risulta a posteriori, da un processo di media, in termini pratici,
> > ma non esiste uno stato meccanico di un sistema gassoso che
> > persita nello stato "ideale" di equilibrio termodinamico.
>
> Lo "stato meccanico" corrispondente allo stato di equilibrio non � 1 bens�
> N, con N molto grande; quindi gli stati microscopici dinamici cambiano, ma
> lo stato di equilibrio termodinamico ha comunque una notevole "inerzia" e
> rimane a lungo tempo macroscopicamente stabile.
L'identificazione di stati di equilibrio e' artificiosa,
e basata su approssimazioni e su statistica, risente del
pregiudizio aristotelico che dicevo. Si potrebbe fare tutta
la termodinamica senza mai invocare altro che medie statistiche
adeguate, criteri di convergenza statistica, e comprendere
quindi in un solo quadro tanto i sistemi che hanno una
stabilita' statistica, quanto i sistemi che sono dominati
dalle fluttuazioni, tuttavia l'ubiquita' dei sistemi
statisticamente stabili, legata essenzialmente alla
prevalenza del teorema di gauss del limite centrale, ha
fatto si' che i sistemi statisticamente stabili si prestassero
ad una comprensione quantitativa e qualitativa ed alla
formulazione di "leggi" prima che si comprendesse che una
stabilita' statistica e delle leggi possono emergere dalla
dinamica.
> > d) L'ipotesi ergodica, complementata con un teorema di
> > Fermi garantisce che se un sistema e' ergodico ogni
> > configurazione sara' prima o poi approssimata con precisione
> > arbitraria.
> ...
>
> Non � venuto prima il teorema della ricorrenza di Poincare?
E' un'affermazione ricorrente, ma quale teorema di Poincare'?
E cosa asserisce? Da quel che ricordo un teorema
di Poincare' si applicava ai sistemi integrabili,
dove si ha che quasi ogni condizione iniziale implica
traiettoria ergodica rispetto alla misura dei
tori invarianti, il che pero' fu riconosciuto pienamente
solo dopo che la meccanica statistica fu pienamente
digerita. Questo e' un esercizio per tutti gli
studenti che si affaccino a queste tematiche, ed e'
basato sulla osservazione che i razionali sono un
insieme di misura nulla in R.
Poi c'e' un teorema di Poincare' sulla non
analiticita' delle costanti del moto in sistemi
non integrabili, infine quello che viene detto
teorema del ritorno di Poincare' e che era ristretto
al caso di sistemi che insistono su supporto
compatto e sostiene che qualunque sistema evolvendo
liberamente da una data condizione iniziale passera'
per qualunque intorno di tal punto in tempo finito.
Prescinde dall'ipotesi ergodica.
Questo teorema ben lungi dal segnare un passo
per la comprensione dell'ipotesi ergodica fu usato
contro l'ipotesi ergodica e contro la tesi meccanicistica
di Boltzmann da Zermelo. Comunque anche Fermi non
fu esente da errori.
Fermi oltre a riconoscere che l'ergodicita'
implica che ogni traiettoria e' densa nello spazio
delle fasi, dimostro' che, dato un sistema
non integrabile ed una ipersuperficie
che contiene tutte le traiettorie che partono da
punti di essa coincide con una ipersuperficie di energia
costante, poi dimostro' che dati due intorni di
tale ipersuperficie esiste una traiettoria che li
attravarsa entrambi. Ma balzo' alla conclusione che
qualunque sistema, eccetto quelli integrabili e'
ergodico. L'errore fu messo in evidenza da una
simulazione numerica dello stesso Fermi e fu
spiegato pienamente dal teorema di Kolmogorv
Arnold Moser. Il punto delicato e' che sebbene un
sistema debolmente perturbato non sia integrabile,
rimane quasi integrabile, ma questo non cozza con
l'esistenza di traiettorie dense nello spazio delle fasi.
Anzi le une, le traiettorie regolari associate con
tori invarianti, e le altre, le traiettorie caotiche,
sono statisticamente rilevanti.
> > Tuttavia non c'e' garanzia che le grandezze macroscopiche
> > osservabili, come la pressione misurata da un barometro in un punto,
> > dipendano con continuita' dallo stato meccanico del sistema.
> > Diversamente una grandezza come la densita' puntuale ed altre
> > grandezze statistiche accessibili computazionalmente dipendono
> > con continuita' dallo stato meccanico del sistema, e sugli stati
> > meccanici classici di un gas perfetto si ha la topologia dello spazio
> > delle fasi che rappresenta il sistema.
>
> Non ho capito cosa vuoi dire.
E' un'affermazione che interviene su qualcosa
che tu vuoi dire. Ci si avvale di astrazioni
riguardo al processo di misura. Ma gran parte
di cio' che una buona astrazione e' capace di
dire di un sistema non e' concretamente osservabile
e quello che si osserva non ha relazione immediata
con quello che si osserva. Questo punto di vista
tuttavia non va estremizzato. Le fluttuazioni di
pressione e densita' e temperatura osservata sono
dati sperimentalmente accessibili, ad esempio
osservando il moto di una particella in soluzione
colloidale, e si spiegano quantitativamente con la
termodinamica statistica. Ma ogni strumento fa una
media nell'acquisire una grandezza ed e' quindi
inaccessibile, come tu dici, il valore del numero
di molecole contenute in un volume.In meccanica
quantistica si parla di osservabili e di misura,
con riferimento alla traccia ad un dato tempo di
un ensemble, intendendo con questo un processo di
acquisizione iterato sull'evoluzione temporale di
una collezione di stati. La meccanica quantistica
garantisce predizioni circa i valori medi e le
fluttuazioni in una collezione di misure, non
prevede l'esito della misura. Cio' non vuol dire
che lo stato del sistema sia indefinito.
> > f) Diversamente, se scegliamo di descrivere approssimativamente
> > lo stato di un sistema mediante i numeri di occupazione di una partizione,
> > l'insieme dei numeri di occupazione e' detto distribuzione.
> ...
> > Si assume generalmente che l'insieme di stati distinti (i microstati) che
> > corrispondono ad una distribuzione ha un volume che puo' essere
> > approssimativamente calcolato.
>
> Da cui si vede come una distribuzione sia un concetto del tutto differente
> da quello di microstato (dinamico), ma la confusione terminologica su
> questo punto l'ha introdotta Bruno.
>
> > g) La distribuzione per cui questo
> > volume e' massimo ed i relativi microstati sono detti, da
> > alcuni autori "di equilibrio".
>
> Punto di vista che, come avrai capito, condivido pienamente.
Non e' un punto di vista.
E' una posizione terminologica.
> > Risulta infatti che
> > questa distribuzione e' un'ottima approssimazione
> > della distribuzione che si ottiene effettuando le
> > medie temporali.
>
> Ma com'� possibile eseguire "praticamente" (come hai scritto pi� sopra) le
> medie temporali?
Ogni strumento opera una media temporale
ed in genere anche operazioni piu' complesse.
Ma io qui non stavo affatto parlando di medie su
dati misurati. Stavo parlando di matematica.
La media temporale e' un'integrale da zero a t
diviso per t di una funzione. Per esempio se
consideriamo un sistema di sfere rigide, ed assegnamo
una partizione dello spazio delle
fasi di singola particella, la funzione vettoriale
che associa ad un punto nello spazio delle fasi
complessivo la distribuzione relativa ad una partizione
dello spazio delle fasi di singola particella.
Si puo' dimostrare che per una densita' non troppo
elevata questa funzione e' continua eccetto un
insieme di misura nulla di punti dove non e' continua.
Ma per definire gli integrali distribuzionali
questo tipo di continuita' e' sufficiente.
E' ovvio ad esempio che il valore
medio dell'entropia distribuzionale associata
con un'evoluzione dinamica, per questo sistema,
che e' stato dimostrato essere ergodico in geometria
di scatola chiusa,
e' sempre minore dell'entropia distribuzionale
dello stato di equilibrio. Diversamente e' ragionevole
pensare che l'entropia
di Shannon, si comporti per questo
sistema come per una mappa di Bernoulli, e l'entropia
di Kolmogorv della medesima mappa convergono esattamente
all'entropia topologica del sistema discretizzato.
> Le medie sugli ensemble non sono utili (e necessarie) proprio perch� le
> medie temporali non sono praticamente effettuabili?
E' una domanda che implica considerazioni
di estrema sottigliezza, anche restando sul
piano della considerazione matematica. Per molti
sistemi non c'e' modo di sapere che razza di
funzione sia la media temporale associata ad una
condizione iniziale. Non di meno si puo' dire
che esista il suo valore medio asintotico e che
per quasi ogni condizione iniziale abbia sempre
lo stesso valore. Se poi consideri sistemi in cui
residui una porzione di regolarita', i sistemi
quasi integrabili, allora le medie di ensemble
ti porteranno quasi certamente a risultati diversi
delle medie temporali, pur di considerare funzioni
che sanno qualcosa del sistema.
Quello che oggi e' pero' relativamente meno nebuloso
che in passato e' che possono verificarsi due fenomeni
I) le medie di ensemble sono ugualmente predittive
per grandezze non troppo ricercate, anche se il
sistema non e' ne' ergodico ne' il caos e' pienamente
sviluppato. In altre parole, alcune grandezze non
sono sensibili alla struttura del sistema. Un esempio
semplice di cio' e' dato da una biglia la cui velocita'
entro un segmento e' regolata ad intervalli di tempo
costante da una mappa di Bernoulli, ovvero il verso
della la sua velocita' e' deciso in modo praticamente
casuale ogni secondo, se guardiamo il moto ogni
10,12453... secondi (un numero irrazionale molto maggiore
di uno) abbiamo l'impressione di una distribuzione
casuale. Il valor medio della posizione rivelata e'
quasi uniformamente distribuito. Rispetto a questo
modo di acquisizione la perfetta definizione del
valore assoluto della velocita' e' praticamente irrilevante.
II) alcuni sistemi pienamente ergodici non sono altrettanto
caotici. Ovvero anche se le medie di ensemble e le medie
temporali sono coincidenti per tempo infinito, puo' succedere
che i transienti di alcune grandezze mostrino un elevato grado
di regolarita'.
Quello che possiamo immaginare e' un sistema dinamico che
ad un livello di dettaglio e' caotico, caratterizzato da
interazioni fortemente perturbarnti rispetto ad una dinamica
integrabile, ma che su grandi scale risulta invece descrivibile
in termini di equazioni dinamiche efficaci integrabili o
quasi integrabili. Possiamo immaginare, ma non c'e' alcun
supporto matematico per questa tesi, che in un sistema del
genere pur senza esistere tori invarianti in senso stretto
potrebbero esistere strutture quasi regolari. Ovvero la
dinamica microscopica si comporta come un motore perfettamente
aleatorio e caotico che fa transire il sistema fra
strutture ordinate. Esistono, infine, esempi molto studiati
di sistemi dei quali pur nulla sapendo della loro ergodicita',
mostrano equazioni dinamiche efficaci per un insieme ridotto
di parametri che hanno una dinamica non hamiltoniana, per
questi sistemi emergono, in luogo delle strutture hamiltoniane
di tori invarianti le strutture di attrattore caotico.
> > h) La collezione dei microstati corrispondenti ad una
> > distribuzione di equilibrio ha probabilita' ben definita.
> > Ed e' ben definita anche al probabilita' di
> > ciascuna delle possibili distribuzioni di "non equilibrio".
>
> OK.
> Saluti,
> Aleph
--
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Received on Sat Mar 11 2006 - 16:30:36 CET