Il 05 Mar 2006, 20:18, Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it> ha scritto:
> Tetis ha scritto:
> > ...
> > Per la luce invece non posso basarmi sul tempo proprio perche' la
> > lagrangiana si annulla per definizione, quindi ritrovo solo un vincolo
> > fra r e t. Qui emerge la difficolta' che dicevo: dal fatto che L=0
> > trovo che:
> >
> > (t')^2 = [r'/(1-1/r)]^2.
> >
> > che integro separatamente fra la zona interna ed esterna.
> > Non posso fare altrimenti perche' si annulla il denominatore a secondo
> > membro.
> > Domanda: come si accordano queste due soluzioni?
> > Ovvero se la luce parte al tempo t = 0 da r0>1 quando arriva in r<1?
> "Quando"? Brutta domanda... ;-)
Hai ragione. Occorre precisione.
Che tempo misura l'orologio a bordo della sonda in
caduta libera quando viene ricevuto il segnale luminoso?
> Osserva che per queste geodetiche r e' un parametro affine (segno a
> parte, se vuoi).
> Quindi puoi assumere che r sia monotona decrescente lungo la geodetica.
>
> Accanto all'eq. che hai scritta c'e' la conservazione del momento
> coniugato a t, che ti da'
>
> t' = r/(r-1). (*)
Che fra l'altro implica quella che avevo scritto.
> Mi obietterai che non e' lecito assumere la stessa equazione dentro e
> fuori: potrebbe cambiare il segno.
No, l'obiezione che pongo e' che l'integrale e' improprio.
La singolarita' e' di tipo 1/r e non si risolve.
> Hai ragione, ma possiamo cavarcela osservando il grafico nel piano
> (u,v) di Kruskal, dove si vede che t' ha proprio il segno di r-1.
> Percio' puoi integrare la (*) e trovi
Non capisco se il cambio di coordinate risolve il problema, a
me sembra di no. Occorrerebbe un altro campo di Killing.
Nelle coordinate di Rindler c'e' quest'altro campo che e' il
coniguato del tempo ordinario. Anche qui forse si trova
qualcosa, ma non ho mai visto nulla, ne' le coordinate di
Kruskal mi suggeriscono granche' se non un analogia
con le superfici gaussiane, ma qui c'e' la caratteristica
delle metriche a segnatura ibrida che comporta differenti
strutture. L'unica idea era di usare come parametro affine non gia' r,
ma una qualche sua variante che risolva il problema della
singolarita' in t. Per esempio se uso come coordinata il tempo
misurato dagli orologi fissi in r... ma porta ad una lagrangiana
che ancora non ha simmetrie evidenti. Insomma, ho continuato
a ragionare cosi' finche' ho letto sul libro di O'Neill che i campi
di Killing per la geometria di Schwartzschild sono quattro e solo
quei quattro, e che in due dimensioni pero' questi si riducono ad
un solo campo. Ho pensato allora che siccome il tempo proprio
non risente di questa singolarita' della coordinata t forse potevo
vedere di fare una deformazione della metrica con un campo
di Killing in piu' associato con il parametro di deformazione, cioe'
una specie di estensione dimensionale. Ispirato appunto dalla lettura
di Wheeler e di Schulmann. Ma mi sembra troppo complicato. Ho pensato
anche che forse esistono delle strutture meno globali dei campi di Killing,
associate con il principio di equivalenza e che permettono di incollare
mappe
locali che non hanno il problema della mappa di Schwartzschild. Ho trovato
che questi costrutti dovrebbero essere stati trattati da Cartan, e mi
ripromettevo
di studiarli quando avessi trovato una motivazione piu' forte di questo
semplice esercizio, ma pensavo anche che da solo l'impresa sarebbe
stata dura ed insensata. In fondo si tratta "solo" di un problema di
connessione. Almeno a livello classico. A livello quantistico invece le
strutture globali potrebbero avere peso nella fenomenologia
di bassa frequenza.
> t = r + ln|r-1| + cost.
>
>
> --
> Elio Fabri
>
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Received on Tue Mar 07 2006 - 18:59:14 CET