Il 04 Mar 2006, 10:27, "Michele" <sandinista83_at_gmail.com> ha scritto:
> Ti consiglio di studiare un po' di meccanica statistica prima di
> proseguire nelle tue elucubrazioni sull'entropia.
> Se non hai mai visto
>
> S = k ln(W)
>
> allora diventa un po' difficile capire di che cosa si parla.
> Magari il Chandler e' buon libro da cui cominciare, oppure lo Huang -
> pure questo ottimo libro.
>
> Prova a considerare l'esempio di un sistema di n particelle, non
> interagenti, che abbiano a disposizione solo 2 livelli energetici E_1,
> E_2 con E_2 > E_1 su cui collocarsi. Trascurando la mq non e' molto
> difficile calcolare lo spazio delle fasi. Prova a calcolare l'entropia
> del sistema e a vedere quale configurazione la massimizza. Prova a
> chiederti: e' questa la configurazione piu' disordinata?
Gia' a questo punto entrano alcune delle innumerevoli precisazioni
necessarie a cui facevo riferimento nella risposta di carettere storicistico
che ho dato a Giulio (devo prendere atto che, come dice Elio Fabri, non
mi ero reso conto di avere scritto cosi' tante cose e che potesse risultare
cosi' difficile leggerle nel modo corretto). Ad esempio esiste il tipico
problema
del paradosso di Gibbs. Quando si dice "la configurazione che massimizza
l'entropia" come si intende specificare questa configurazione?
Altra difficolta': sembra un'innocente dimenticanza, ma ha varie
conseguenze,
come la valuti la probabilita' delle configurazioni, e come tieni conto dei
vincoli
di energia? Dire se si intente fissare l'energia o no puo' sembrare una
precisazione di poco conto in un sistema che ha un'energia media stabilita.
Questa semplice precisazione pero' cambia la natura del problema. Nello
schema
canonico puoi rinunciare a questa impostazione, e devi dare delle
informazioni
aggiuntive: degenerazione delle energie o se preferisci densita' degli stati
e
fattore di Boltzmann.
> Secondo me e' lampante che non c'e' una risposta univoca e che la
> domanda non ha senso. Si puo' solo dire: questa e' la configurazione
> che massimizza l'entropia quindi la piu' probabile.
Quello che scopri e' che in primo luogo, fissato
il valore E_tot dell'energia complessiva risulta
che il sistema:
n1 E1+n2 E2 = E_tot
n1+n2 = N
ammette una sola soluzione purche' E1 differisca da E2.
Ciononostante se precisiamo la natura del sistema, ad esempio
diciamo che gli stati sono specificati per mezzo di sequenze
di E1, E2, allora il numero delle sequenze con n1,n2 lettere
per ciascuna specie e' ben specificato da C(n1+n2,n1).
Il numero complessivo di sequenze possibili, e' in questo caso
il medesimo. Quindi l'entropia risulta, nello schema microcanonico,
nulla. Diversamente procedono le cose in mancanza del vincolo su
E_tot. Per questo sistema, nello schema canonico, abbiamo che
l'energia E e' n1 E1 + n2 E2. In tal caso la probabilita' dello stato
n1,n2 e' proporzionale a C(n1+n2,n1) exp[-(n1 E1+n2 E2)/kT].
Vedi che si aggiunge il fattore di Boltzmann. Il che equivale a scegliere
come funzione di partizione la somma su tutte le possibili sequenze
di exp(-H(sequenza)/kT). Nel nostro caso l'hamiltoniana e' semplicemente
n1 E1 + n2 E2 dove n1, n2 conta gli stati energetici di singola particella.
Con un poco di algebra si
scopre che la massima probabilita' si ha circa per
n1 = n exp( -E1/kT)/ [exp(-E1/kT)+exp(-E2/kT)]. Ma se consideri
il logaritmo di questa probabilita' il suo massimo si ha per il valore
al quale e' massimo l'argomento. Questo perche' il logaritmo
e' una funzione convessa, quindi massimizzare l'entropia
e massimizzare la probabilita' e' la stessa cosa. Ma per quale motivo
si sceglie il logaritmo fra tutte le possibili funzioni convesse?
Perche' se la probabilita' di uno stato microscopico puo' essere
ridotta al prodotto delle probabilita' di sottosistemi, in tal caso
l'entropia complessiva e' la somma delle entropie dei sottosistemi.
Nota bene che basta che venga a mancare l'indipendenza statistica
dei sottosistemi perche' venga a mancare l'additivita' dell'entropia.
Lo studio delle proprieta' non-estensive dell'entropia dei sistemi
fortemente correlati e' un filone difficile e molto ricco di
sottigliezze, specie rispetto alla controparte dinamica di
queste fenomenologie di correlazione.
> Probabilmente per risolvere l'esercizio dovrai leggere i libri di cui
> sopra e forse ci trovi anche la risposta direttamente (sul Chandler di
> sicuro). Buono studio.
Concordo con questa indicazione di saggezza.
Tuttavia qualche parola in piu' si puo' aggiungere.
Si puo' fare un esempio concreto di sistema in cui
n particelle interagenti hanno tre energie potenziali
possibili rispetto ad un potenziale esterno. Si puo'
scegliere di rappresentare lo stato energetico con
l'indicazione dei numeri n1,n2,n3 che occupano
i tre livelli energetici. Allora una delle variabili e'
libera e le altre tre sono vincolate al valore della
prima. Questo tuttavia non costituisce ancora una
specifica dello stato del sistema, lo stato del sistema
e' caratterizzato da tutti i suoi gradi di liberta', e coinvolge
uno spazio di 6n dimensioni, nel quale andiamo a considerare
una sub varieta' 6n-1 dimensionale. Se il sistema e' composto
da sfere rigide e' usuale assumere che i punti della varieta' 6n
dimensionale vengono esplorati (a rigore se campionati per
un tempo infinito, ma puo' bastare un tempo grande rispetto
alla memoria dello stato iniziale che si stima dal tempo medio
fra due urti) in maniera uniforme rispetto alla misura invariante
di questa varieta'. Questa misura e' uniforme. Questo risultato e' stato
dimostrato
per le sfere rigide in una scatola a forma di parallelepipedo, da Simanyi
che aveva cominciato a pensarci gia' nel 1996 sulla scia di alcune
impostazioni dovute a Sinai, nel 2002. Nel 1997 aveva dimostrato
che e' vero se si considera una scatola rettangolare ed due sole
sfere, ... Ad ogni modo questa ipotesi ammette una formulazione abbastanza
tipica in modo che per certi sistemi di potenziale esterno si puo' ritenere
probabile. Quando si dice che il sistema e' massimamente
disordinato si intende solo questo: esiste nello spazio delle fasi che lo
rappresenta una misura invariante sotto flusso di Liouville e la
distribuzione
statistica dei punti rispetto ad una evoluzione temporale risultano
genericamente
(cioe' eccetto eventualmente un insieme di misura nulla di condizioni
iniziali,
che puo' risultare periodico) distribuiti proporzionalmente alla misura
invariante.
Esiste un'eccezione molto notevole alla validita' di questa
bella e comoda proprieta' statistica, che lega l'aspetto termodinamico
del sistema al suo spazio delle fasi, e' quella che riguarda i sistemi
unidimensionali. I loro punti eccezionali possono risultare ben piu'
pesanti. Altro caso notoriamente resistente a questa trattazione e' il
caso delle galassie. E' un fatto che alcuni di questi sistemi sono
resistenti persino
all'impostazione statistica data da Landau e che e' quella usata ancora
da Callen a cui fa correttamente riferimento Giorgio. Quanto allo schema
che ho suggerito, e che e' essenzialmente l'idea di Boltzmann corredata
di un secolo di precisazioni, lo si puo' adattare anche a questi sistemi a
patto di ricorrere alle adeguate nozioni di misura invariante ed agli
ambienti adeguati per la descrizione degli stati. E qui si apre un universo
intero di possibilita'. La meccanica
quantistica e la teoria dei campi cercano di precisare la misura
invariante e lo stesso spazio delle fasi dall'algebra delle osservabili
seguite.
> Giulio Severini ha scritto:
>
> > Cos'� un microstato?! Non continuo a capire, ad ogni modo, cosa siano
> > l'ordine e il disordine, e se la Natura fa una qualche distinzione.
E' certo che almeno l'uomo fa questa distinzione, e quindi la
matematica che descrive la natura cerca di tematizzare questa
differenza. Quanto alla domanda: cosa e' un microstato la risposta
e' delicata. Va quasi bene la proposta di Enrico, ma va precisata
con attenzione alla definizione della probabilita' relativa ad un
microstato, questa e' la parte difficile in verita'. Non ho mai trovato
una trattazione adeguatamente semplice e generale per questo
tema. Gli argomenti semplificativi di Huang e di gran parte dei
libri di meccanica statistica risentono del difetto che dice Bruno:
non si capisce come generalizzare la nozione di spazio delle
configurazioni, ai sistemi fortemente interagenti ad esempio, ed
allora occorre distinguere caso per caso sperando che
vada bene, mancano le ricette generali a quel livello e la
trattazione procede per esempi. Viene introdotta poi ad un certo
punto lo schema della cluster decomposition, e tutto sembra
procedere in modo paciosamente indipendente dalla dinamica.
L'idea di fondo e' che si possa scomporre il sistema in parti
poco interagenti. Se vale questo allora seguono tanti bei risultati.
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http://arianna.libero.it/usenet/
Received on Mon Mar 06 2006 - 20:25:26 CET