Il 23 Feb 2006, 13:52, "Valter Moretti" <vmoretti2_at_hotmail.com> ha scritto:
>
> Tetis ha scritto:
> >Notare tuttavia che e' falso che D(UAU*) = U*D(A),
>
> Infatti �:
>
> D(UAU*) = UD(A),
>
> o forse � questo che dici che � falso?
No. Infatti quello che avevo scritto e':
- Notare tuttavia che e' falso che D(UAU*) = U*D(A),
- come ho mostrato nel caso dell'operatore derivata per
- la trasformazione unitaria f(x) -> exp(i gamma(x)) f(x).
- Mentre certamente D(UAU*) = U D(A).
l'ultima riga non l'avevi letta?
> > rimane solo un ulteriore
> > punto che forse non hai specificato perche' ovvio:
> > che se A e' chiudibile allora UAU* e' chiudibile?
>
> Mi pare proprio di si: B (con dominio denso) � chiudibile
> se e solo se D(B*) � denso.
> Nel caso in esame:
> UA*U* = (UAU*)* per cui
> D((UAU*)*) = UD(A*)
> e, essendo U unitario, UD(A*) � denso se e solo se
> lo � D(A*).
Scusami se ti ho costretto a questa rispiegazione,
in effetti nel frattempo avevo raggiunto questa
convinzione.
> Ho capito male? Non ho pi� seguito nulla
> del tuo discorso, riesco solo a congliere quialche pezzettino...
> Ciao, Valter
Tutto quello che mi suonava contraddittorio, anche se ad una
attenta riflessione non e' risultato piu' tale, era che potessero valere
al tempo stesso i due fatti seguenti:
a) dati A1,..., Am aperti corrispondenti alla parte interna
degli insieme di una partizione per S^1 allora si ha che dalle
basi per L^2(Ai) si puo' costruire una base per la somma
diretta: L^2(A1)+...L^2(Am) che e' una base per L^2(S^1).
b) ogni trasformazione unitaria su uno spazio di Hilbert
H conserva la proprieta' di autoaggiunzione essenziale
di un operatore A in H.
In particolare pensavo, erroneamente, che la a) implicasse
l'esistenza di una trasformazione unitaria di H in se che
applicasse la base di L^2(S^1) nella base della somma
diretta e viceversa (tramite l'inversa). Pensavo poi che, in
virtu' di b, da questo sarebbe discesa una corrispondenza fra ogni
estensione autoaggiunta dell'operatore impulso autoaggiunto
che si ottiene combinando in p = p_1 + ... +p_m gli operatori
autoaggiunti p_i definiti in L^2(A_i) con la procedura solita
dell'esistenza della derivata in senso debole ed un operatore
autoaggiunto in L^2(S^1). Quello che mi suonava paradossale
era essenzialmente che mi sembrava che p = p_1 + ... + p_m
potesse essere visto come un operatore autoaggiunto di L^2(S^1)
linkato al solito operatore di Dirac mediante una trasformazione
unitaria.
In verita' si ha che di trasformazioni unitarie compatibili con
l'isometria I(theta_1,...,theta_n) definita dalla proiezione dei vettori
di base di L^2(S^1) sui vettori di base di L^2(A_1) + ... + L^2(A_m)
ne esistono infinite. Inoltre anche di isometrie definite per proiezione
se ne hanno |R^m quante sono le scelte dei parametri theta_i.
Una specifica trasformazione unitaria ottenuta per estensione
dell'isometria I(theta_1,...,theta_n) [nota che L^2(A_1)+...+L^2(A_m)
puo' esser visto come immerso densamente in L^2(S^1)] agisce
applicando p_1 + ... p_m in (p_1+...+p_m)+(theta_1+...+theta_m).
ed il classico operatore di Dirac in
p+
+ (theta_1+...+theta_m) +
+ Sum_k delta(x-x_k)[theta_(k+1)-theta_k]
A me sembra che questa sia la differenza essenziale fra
i due tipi di operatore. Per questo, onde evitare funzioni
generalizzate quando ho svolto l'esercizio delle trasformazioni
unitarie indotte dalla trasformazione p -> p + f avevo
imposto la continuita' della f e non semplicemente
l'assoluta continuita'.
Tuttavia ciascuno degli operatori: p_1+... + p_m+ (theta_1 +...+ theta_m)
ammette ancora |R^m estensioni autoaggiunte. Sono queste legate
con la scelta delle varie fasi come dice Lizzi e se si come?
Scusami per l'insistenza. Mi sento piuttosto imbranato ed
in un mar di confusione, anche perche' penso che questo
giochino abbia un significato profondo ma non riesco a
coglierne il senso.
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Received on Thu Feb 23 2006 - 18:24:11 CET