Il 16 Feb 2006, 10:37, "Valter Moretti" <vmoretti2_at_hotmail.com> ha scritto:
> Prima di tutto: gli indici di difetto sono nulli come ho gi� detto in
> altri post.
> Non � questo il punto. Non cerchiamo le estensioni autoaggiunte, ma
> quelle essenzialmente autoaggiunte...
> Vengo alle tue domande.
>
> >l'operatore P che agisce
> >nello spazio delle combinazioni lineari finite, a coefficienti complessi,
> >delle funzioni exp( i n x) con x in R/[0,2pi] dove vige la topologia
indotta
> >da R, ed n e' nei naturali, al modo seguente: Pf -i f ', e'
essenzialmente
> >autoaggiunto.
> >Vero o falso?
>
> VERO
>
> (se per "naturali" quelli con segno, cio� quelli che si chiamano
> pi� frequentemente "interi", e se con R/[0,2pi] intendi l'insieme
> [0,2\pi]
> con estremi identificati. Cio� quello che conta � che si lavori nello
> spazio di
> Hilber L^2([0,2\pi]) )
In effetti volevo scrivere interi. Ed io [0,2pi] con estremi identificati
lo scrivo come il quoziente R/[0,2pi] con la topologia indotta da R
perche' e' cosi' che risulta naturale che i punti eps e 2pi-eps sono
vicini. Ora se tutto questo e' vero, e' anche vero che L^2([0,2pi])
e' lo stesso spazio di Hilbert, a meno di un isomorfismo di L^2(R/[0,2pi]).
Quello che non e' piu' vero e' che l'operatore
di derivata agisce in zero. Ora quello che ho capito e' che a questo
punto l'operatore ammette indici di difetto non nulli. Perche' stavolta
exp(x) sta nel nucleo di p + i. D'altra parte esiste un teorema che
garantisce
che gli indici di difetto sono nulli se e solo se l'operatore e'
essenzialmente
autoaggiunto. Quindi sembrerebbe che l'operatore che agisce sul dominio
delle funzioni derivabili in (0,2pi) a differenza di quello che agisce sul
dominio
delle funzioni derivabili in R/[0,2pi], non sia essenzialmente autoaggiunto.
Anche se lo stesso teorema garantisce l'esistenza di una estensione
autoaggiunta.
Bene, se questo e' corretto una delle condizioni che definiscono
un operatore essenzialmente autoaggiunto deve mancare:
D(A) e D(A^{+}) sono densi.
A^{+} = (A^{+})^{+}.
> >Se per contro consideriamo operatori che agiscono
> >allo stesso modo, fatta eccezione per un insieme finito di punti (x0, x1,
> >xm),
> >sulle combinazioni lineari finite di quell'insieme di funzioni della
forma:
> >exp(i (theta_k + n) (x-x_k)) chi_k(x) dove k varia da 0 ad m e chi_k
> >e' la funzione caratteristica per l'intervallo (x_k , x_{k+1}) (ponendo
m+1
> > 0),
> >allora ciascuno di questi operatori risulta essenzialmente autoaggiunto.
> >Per ogni combinazione lineare possiamo mostrare che P e' hermitiano.
> >Vero o falso?
>
> Non ho capito bene. Ma ti puoi rispondere da solo. Ecco come.
> Il punto � semplicemente questo: lo spazio delle
> combinazioni lineari finite delle funzioni del tipo scritto sopra
> genera
> finitamente i soliti esponenziali exp( i n x) ?
No questo non puo' esser vero perche' la base e' scritta
male, la base corretta e' >exp(i (theta_k + 2 pi n) (x-x_k)/Lk) chi_k(x)
Dove Lk = a_{k+1}-a_k. Anche questa base tuttavia
non li genera finitamente. Pero' sappiamo che il sistema
specificato sopra e' una base per ogni spazio di Hilbert
definito su un intervallo, (che sarebbe gia' una tesi da dimostrare,
ma ammettiamo il risultato per un momento e torniamo a
dimostrarlo in seguito), d'altra parte
siccome exp(inx) e' continua la serie di Fourier di
exp(i n x) converge uniformemente ad exp(i n x) in ogni
aperto, mentre includendo i bordi non si puo' piu' garantire
la convergenza uniforme. (Btw, se si usa la base periodica si puo'
dire che la serie di fourier converge, negli estremi, puntualmente
al valor medio dei valori che la funzione rappresentata assume
negli estremi). Questo, insieme con i teoremi di Plancharel,
dimostra la tesi che esiste una trasformazione
unitaria dalla base che abbiamo assunto alla base ordinaria
delle funzioni periodiche. E che entrambi gli span generati da
queste due basi sono densi nell'intero L^2(0, 2pi).
> (eventualmente modificati su un insiemi di misura nulla arbitrari).
> Pi� debolmente lo spazio delle comb lin finite suddette approssima
> a piacimento nella norma L^2 i soliti esponenziali exp( i n x)?
Si questo e' vero se exp(i(theta+n)x) e' una base per L^2(0,2pi).
Forse segue in modo del tutto generale dal teorema
di Stone, ma si puo' anche illustrare piu' semplicemente che
se: a_n f_n converge in L^2 ad f. Allora a_n exp(i thetax) f_n
converge in L^2 ad exp(i theta x) f. Per conseguenza basta
scrivere la serie di Fourier della funzione exp( - i theta x) f, che
ovviamente resta in L^2 come f stessa,
nella vecchia base per ottenere la serie di Fourier di f nella
nuova base.
Dato questo, per mettere a posto la condizione di convergenza dalla
convergenza delle serie parziali intervallo per intervallo e' sufficiente
che il numero di tratti sia finito. Se il numero di punti eccezionali e'
un insieme numerabile potrebbe essere piu' difficile e non so se
e' vero.
In genere tuttavia si assume che se f e' una funzione
assolutamente continua e \gamma ne e' la primitiva,
la mappa: psi(q) -> exp( i \gamma(q)) psi(q) sia una
trasformazione unitaria che applica p in p + f(q).
Dove p + f(q) obbedisce ancora alle regole di commutazione
canonica. Quello di prima quindi apparirebbe come un caso
particolare di questo.
> Se la risposta � si a una delle due possibilit�, allora l'operatore
> � essenzialmente autoaggiunto (ammettendo che sia hermitiano come
> confermi in fondo)
L'hermitianita' segue dalla condizione vincolare di Wronskiano
conservato, imposta dicendo che f(b) = exp(i theta(b-a)) f(a)
per ogni combinazione lineare su ogni tratto, e dall'additivita'
degli integrali. Per estenso: data una combinazione lineare K
di funzioni Sum_n,k {a_n,k exp( i (theta_k+ 2 \pi n/ L_k)x) chi_k(x)}
dove L_k e' la larghezza dell'intervallo k, e chi_k e' la funzione
caratteristica
sull'intervallo k, e' ben definita l'azione della derivata su questa
combinazione
lineare. Fatta eccezione per i punti fra un intervallo e l'altro dove
possiamo
definire arbitrariamente il valore dell'immagine. Quello che conta
e' che l'azione della derivata e' moltiplicativo sui coefficienti.
Data poi un'altra combinazione lineare J di coefficienti: b_n,k si puo'
esplicitare <J,pK> in termini di somma di integrali che coinvolgono ciascuno
un solo indice k, perche' le funzioni caratteristiche annullano tutti i
prodotti
misti. Su ogni integrale si puo' applicare il teorema di integrazione per
parti
e riconoscere infine, riassemblando, <p J, K>
Ora se p e' hermitiano, ovvero quello che abbiamo appena mostrato:
per ogni J,K in D(p) si ha <pJ,K> = <J,pK>, ed il suo dominio e' denso,
come avevamo mostrato segue che lo stesso p fornisce la
rappresentazione di Riesz dei vettori Z_p,J = p J per ogni
J in D(A). E quindi la rappresentazione di
Riesz di p^{+} in D(A). Ma allora D(A^{+}) contiene D(A).
Quindi D(A^{+}) e' denso in H. Cioe' fin qui abbiamo
mostrato che A e' contenuto in A^{+}. Quindi non ancora
che e' autoaggiunto.
Tuttavia l'operatore p non e' limitato. Infatti basta osservare che
sui vettori unitari di una data base exp(i n x) egli agisce
aumentandone la norma del fattore moltiplicativo n.
E' per questo, ritengo che p non sia chiudibile. Ed e'
questa anche la ragione per cui occorre distinguere la
simmetricita', che abbiamo dimostrato, dall'autoaggiunzione,
che richiede l'identita' di A ed A^{+}.
Tuttavia non possiamo ancora bocciare Lizzi :-).
Anzi al contrario. Ma per ottenere una definizione
di operatore impulso che sia autoaggiunta occorre
introdurre la teoria delle distribuzioni. Ed introdurre
la nozione di derivazione in senso debole. Ovvero
occorre ampliare il dominio dell'impulso indebolendo
la richiesta, troppo rigida, di derivabilita'. Facendo questo
otteniamo un operatore impulso che e' autoaggiunto.
Ma non ancora essenzialmente autoaggiunto.
La nozione di derivabilita' in senso debole e' quella
che fa al caso nostro: una funzione e' derivabile in
senso debole se e solo esiste h in L^2(0,2\pi), e' importante
in questo caso che l'intervallo e' aperto, tale che
per ogni funzione g infinatamente derivabile a
supporto compatto, vale ( f , g' ) = (h, g).
Se procediamo
in questo modo otteniamo un operatore impulso in L^2(0,2pi)
che ammette tante estensioni autoaggiunte quante sono le
isometrie suriettive di uno spazio unidimensionale in se.
Ovvero tante quante sono le possibili scelte del fattore di fase
di un vettore. Questo gruppo diventa pero' piu' complesso
quando considerivamo la somma diretta di m spazi
di Hilbert: tutte le funzioni chi_k( x ) (exp(x)) sono infatti nel
Ker di p + i. Mentre le funzioni chi_k(exp(-x)) sono in Ker (p - i)
Questo spazio ha allora dimensione m. Ovvero d+(p)=d-(p)=m
Otteniamo quindi una varieta' parametrizzata da SU(m) di
estensioni autoaggiunte.
Ancora un attestato di umilta': nonostante queste argomentazioni
non riesco ancora a concludere che ci sia un nesso il
numero \theta e questa fase. Per trovare un nesso, con
l'arzigogolo di cui sopra dovrei passare per la trasformata
di Cayley, probabilmente esiste un modo piu' diretto di vedere
la questione lavorando da subito su una condizione al bordo
per le funzioni del dominio: ad esempio considerare le funzioni
non a supporto compatto ma tali che esistono i limiti destro (a sinistra)
e sinistro (a destra) delle funzioni e delle derivate e che valga la
condizione
di raccordo delle fasi.
Se posso permettermi solo una nota critica. L'osservazione
finale su Ahronov Bohm sembra piu' la svista di uno studente
che ha trascritto le lezioni che un'affermazione seria. Io dividevo
la casa con un collega che ad Ahronov Bohm in schema
non relativistico ha dedicato la
tesi e tutto quello che loro facevano era assumere che
cadesse la condizione di regolarita' delle funzioni del dominio
nell'origine delle coordinate. Ma la parte angolare posso garantire
che la definivano essenzialmente autoaggiunta e non e' che lo faceva
perche' era giovane e pischello, ma perche' gli e lo aveva detto il
suo relatore che e' un fisico matematico romano con tutte le credenziali
necessarie per presentarsi ad un congresso, dire una cosa ed essere
stimato come mente limpida e fonte di esattezza.
> Ciao, Valter
>
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Received on Thu Feb 16 2006 - 17:01:35 CET