Re: Aiuto esercizio: particella su circonferenza

From: Wiso <wiso_at_despammed.com>
Date: Wed, 08 Feb 2006 14:57:19 +0100

TV ha scritto:
> "wiso" <giurrero_at_gmail.com> ha scritto nel messaggio
> news:1138878086.677286.34740_at_g14g2000cwa.googlegroups.com...
>> non basta che usi la sostituzione di p con il suo corrispondete
>> quantistico, cio� l'operatore momento angolare?
>
>
> Non lo so! Inoltre non sono ancora arrivato al momento angolare. Comunque
> per come � collocato l'esercizio nelle dispense (esercizi introdutivi) penso
> che si debba risolvere in modo pi� matematico che fisico.
>
> Ciao
>
> TV
>

visto che ieri ho fatto l'esame di mq e probabilmente non l'ho passato
perch� c'erano dei conti mostruosi, ecc... mi sento di risolvere questo
esercizio. La nostra funzione d'onda ha un solo parametro, l'angolo phi,
ed ha una condizione di periodicit� (siamo su una circonferenza) ovvero
psi[phi]=psi[phi+2pi]. Equazione agli autovalori:

H psi = E psi

cerchiamo la forma di H, H=P^2/2m e quindi di P=-ih\nabla^2, \nabla^2 �
due dimensioni, quindi possiamo dire \nabla^2 = (d/dx)^2+(d/dy)^2, ora
per� stiamo lavorando in coordinate angolari e con un vincolo, quindi il
problema � unidimensionale. facendo un cambio di variabili x=R cos phi,
y = R sin phi otteniamo il nostro laplaciano:

\nabla^2 = 1/R^2 (d/dphi)^2

che pu� essere messo in relazione con momento angolare lungo z (che in
questo caso � l'unico) tramite la sua definizione: (L_z)^2 = -h^2
(d/dphi)^2. non ce n'� bisogno

la nostra eq agli autovalori in coordinate angolari diviene:

1/R^2 (d/dphi)^2 psi[phi] = -2mE/h psi[phi]

definiamo k := sqrt[2mER^2]/h e l'equazione sopra diventa:

psi''[phi] = -k^2 psi[phi]

ovvero:

psi[phi] = A Exp[ik phi], (*)

con k:=+- k, non ho voglia di scrivere l'esponenziale con +k e quello
con -k, quindi ho ridefinito k che pu� essere +- il vecchio k

imponendo la condizione di periocit� si trova che k\in Z, quindi al
variare di k in Z la (*) ci d� gli autostati (A va scelto in base alla
normalizzazione), per le energie:

E = k^2 h^2/2mR^2 con k che varia in Z, ma poich� � al quadrato

E = n^2 h^2/2mR^2 con n in N che se la guardi bene � uguale alla
quantizzazione dell'energia in una buca di potenziale infinita larga R.
Received on Wed Feb 08 2006 - 14:57:19 CET