Il 24/01/2012 20:32, salvasagu ha scritto:
> Hi,
> la costante c^2 (oppure v^2) nell'equazione differenziale delle onde
Immagino che tu intenda l'equazione di d'Alembert in una dimensione:
(1) _at_^2 u / @t^2 = c^2 @^2 U / @x^2
> rappresenta la velocita' dell'onda.
> Perche' ? Coas mi fa capire che c e' la velocita' dell'onda ?
> Solo perche' ha la dimensione m/s ?
Questo casomai e' solo un buon indizio...
> oppure ?
Soluzioni dell'equazione di d'Alembert sono tutte e sole le funzioni
della forma
(2) u(x,t) = f(x - ct) + g(x + ct)
dove f e g sono due funzioni R -> R qualsiasi: basta che siano ovunque
derivabili quanto basta.
Che tutte le u(x,t) della forma (2) siano soluzione della (1) lo puoi
verificare direttamente calcolando le _at_^2 u / @t^2 e @^2 U / @x^2.
La dimostrazione che tutte le soluzioni della (1) hanno la forma (2) e'
un po' piu' lunga, ma la trovi in tutti i buoni libri e anche su
Wikipedia e Wolfram, es.
http://mathworld.wolfram.com/dAlembertsSolution.html
Ma forse il tuo problema e' piuttosto "perche' c rappresenta *proprio*
la velocita' dell'onda".
Consideriamo il caso in cui g=0, la (2) si riduce a
(3) u(x,t) = f(x - ct)
all'istante assunto come iniziale, t0=0, e'
u(x,0) = f(x)
ossia la soluzione, nel piano cartesiano x,u, ha un certo "profilo" che
e' esattamente il grafico di f.
Ad un istante generico t1, in un punto generico x1, sara'
u(x1,t1) = f(x1 - ct1) = f(x0), con x0 = x1 - ct1
ossia: in x1, all'istante t1, il valore della funzione u sara' lo stesso
che u aveva all'istante t0(=0) nel punto x0, che *precede* x1 e ne dista
x1 - x0 = ct1. E questo vale per qualsiasi scelta di x1.
=> All'istante t1, l' *intero profilo* della funzione f si e'
spostato *verso destra* percorrendo uno spazio ct1, alla velocita' c.
Una funzione che col passare del tempo *trasla* con velocita' costante
e' proprio quello che chiamiamo "onda".
f(x - ct) e' quindi un'onda che trasla lungo l'asse x con velocita'
positiva c.
Ripetendo pari pari il ragionamento, g(x + ct) rappresenta invece
un'onda che trasla lungo l'asse x con velocita' negativa -c.
La soluzione della (1) quindi e' data dalla somma di due onde, che con
il passare del tempo traslano lungo l'asse x, l'una in un verso e
l'altra nell'altro, avendo entrambe c come valore assoluto della velocita'.
--
TRu-TS
Buon vento e cieli sereni
Received on Fri Jan 27 2012 - 01:38:23 CET