Re: forme differenziali

From: <pappakus_at_gmail.com>
Date: 29 Dec 2005 04:04:01 -0800

> Salve, sono uno studente di fisica del secondo anno. Nel corso di
> analisi vettoriale ci sono stati spiegati i teoremi di green, stokes,
> della divergenza e abbiamo studiato un p� le forme differenziali. Ma
> sono estremamente incuriosito dall'argomento: ad esempio il teorema di
> stokes come si estende a pi� dimensioni? Tutti questi teoremi sono casi
> particolari di un fenomeno generale? Mi riferisco ad esempio ad un
> integrale doppio che � uguale ad un integrale sul bordo o ad un
> integrale triplo che � uguale ad un integrale di superfice, mi verrebbe
> da dire che un integrale quadruplo (di cosa?) � uguale ad un integrale
> di una superfice descritta da 3 parametri.....come si estende tutto ci�
> in modo pi� generale? Ha senso? Non voglio essere spiegato tutte queste
> cose vorrei qualche indicazione su qualche libro sull'argomento sempre
> che � un qualcosa di sensato :D
> Grazie mille e buone feste

In effetti il teorema di Stokes � un teorema molto generale e riguarda
propriamente non tanto i campi vettoriali (ai quali ci si pu�
ricondurre in casi particolari) ma le forme differenziali ed il legame
tra la differenziazione di una forma e la sua integrazione.
Per esempio prendi |R^N e poi considera un sottoinsieme compatto e
orientabile di dimensione k<=N di |R^n che sia abbastanza "ben fatto",
per esempio un iperpiano, una sfera, un toro, ma non uno spazio
proiettivo (della dimensione che vuoi te). Se ora definisci su questo
oggetto una forma differenziale di ordine k-1 che sia anche questa
abbastanza ben fatta (per esempio C^\infty) allora l'integrale di
questa forma sul bordo dell'oggetto � uguale all'integrale della
derivata della forma (che � quindi una k-forma) sull'oggetto.
(ci sono un sacco di cose da definire bene � chiaro, prima fra tutte
ci� che significa integrare una forma differenziale).

La cosa � molto generale perch� "gli oggetti" come sfere e tori, sono
esempi di variet� differenziali, orientabili e compatte, ed � in
questo senso che il teorema di Stokes pu� essere ulteriormente
generalizzato.

Nel caso di strutture con ulteriori propriet� metriche, per esempio
variet� riemanniane, la presenza di particolari corrispondenze tra
campi vettoriali e variet� differenziali permette di dimostrare una
generalizzazione del teorema della divergenza per qualsiasi dimensione,
ed un'estensione del teorema del rotore a tutte le variet� di
dimensione 3 (chiaramente ridefinendo a dovere i concetti di divergenza
e rotore di un campo vettoriale).

Per referenze sull'argomento i libri sono tantissimi. Tempo fa ne
trovai uno molto interessante intorno alle variet� differenziali
"Smooth Manifolds" di un certo Lee. Era possibile scaricarlo
gratuitamente, ma adesso pare non lo sia pi�, purtroppo :)...


DP
Received on Thu Dec 29 2005 - 13:04:01 CET