Re: Lavoro necessario per caricare una sfera

From: Daniele Fua <daniele.fua_at_unimib.it>
Date: Wed, 30 Nov 2005 12:46:22 +0100

ileana wrote:
> Salve.
> Vorrei sapere perch� per caricare una sfera di cui si conosce il raggio
> e si sa la carica da trasportare il lavoro necessario lo si riesce
> correttamente a calcolare solo mediante la formula U= 1/2 QV. Mi spiego:
> questa formula si pu� facilmente ricavare, ma dopo una serie di passaggi
> matematici un po' archittetosi e quindi non spontanei (!!!), di quelli
> che agli alunni piacciono poco.... Se lo si volesse spiegare partendo
> dal significato di Lavoro come prodotto della carica per il potenziale
> non si ottiene quell' 1/2 che poi rende esatto il risultato.
> Qualcuno mi potrebbe insegnare la maniera meno scolastica possibile per
> ottenere la giusta formula ma senza necessit� dell'artefatto algebrico?
> insomma perch� 1/2 quando L= carica x d.d.p. ? forse perch� V = 1/2
> d.d.p. ?
>
> Grazie.
> illi
>
Se sapessi cos'� un integrale sarebbe tutto molto semplice ma eccoti una
spiegazione che spero non considererai troppo "architettosa".
Partiamo dalla tua posizione che, per�, deve essere spiegata meglio:
"lavoro come prodotto della carica per il potenziale". Ricordati che il
potenziale � sempre definito rispetto ad un potenziale di riferimento e,
siccome quello che interessa sono le DIFFERENZE di potenziale, si pu�
sempre prendere il potenziale di riferimento in maniera che ci � pi�
comoda. Qui si assume che il potenziale della sfera sia riferito
all'infinito (= un punto infinitamente lontano dalla sfera) e che
quest'ultimo abbia potenziale zero. Insisto sul fatto che questa scelta
� arbitraria ma ci fa comodo.
Poich� immaginiamo di portare la carica dall'infinito alla sfera in
questo caso dire che "il lavoro fatto verso la sfera � uguale al
prodotto della carica per il potenziale della sfera" � effettivamente
corretto.
Siamo anche d'accordo che "l'energia acquisita dalla sfera � uguale al
lavoro fatto verso la sfera nel caricarla", vero?
Siamo vicini alla soluzione. All'inizio la sfera � scarica quindi il suo
potenziale � zero; se portiamo una piccolissima carica dall'infinito
alla sfera NON facciamo lavoro perch� non c'� differenza di potenziale
tra la sfera e l'infinito. Tuttavia questa carica crea una piccolissimo
potenziale e la successiva piccola carica necessiter� di un piccolo
lavoro per essere aggiunta e cos� via; man mano che aggiungo cariche il
potenziale della sfera cresce ed il lavoro necessario per aggiungere
ulteriori cariche aumenta.
Il potenziale della sfera cresce in modo proporzionale alla carica
totale raggiunta e va da zero (all'inizio) a Q/C (alla fine) dove C � la
capacit� (una costante) della sfera ed � proprio definita come rapporto
tra carica Q e potenziale V. Siamo alla fine e qui viene fuori l'ultimo
passaggio critico se non si sanno gli integrali: alla fine abbiamo
aggiunto una carica totale Q ma nel processo siamo passati da un
potenziale zero al potenziale Q/C; dobbiamo fare il prodotto della
carica per il potenziale ma quale potenziale prendiamo? quello iniziale
(zero) o quello finale (Q/C)? B�, viene fuori che il modo corretto (e
anche intuitivo) � prendere quello intermedio cio� quello dato dalla
media aritmetica: iniziale pi� finale diviso due (0 + Q/C)/2 = 1/2 Q/C.
E' spuntato magicamente il fattore 1/2, fai le sostituzioni opportune e
trovi la formula finale!
Ti potrebbe venire un dubbio: perch� non porto tutt'insieme e "di botto"
la carica Q dall'infinito alla sfera quando il potenziale � zero e
quindi non faccio nessun lavoro? L'hai pensato? Sai la risposta?

Ciao e spero di aver chiarito...

Daniele Fu�
Uni. Milano-Bicocca
Received on Wed Nov 30 2005 - 12:46:22 CET