"andrea" <andrea2_at_despammed.com> wrote in message
news:195Z75Z14Z249Y1129307246X24949_at_usenet.libero.it
>
> > C'e' un'iincompletezza nella tua presentazione che va
> > colmata osservando che il sistema delle equazioni di
> > D'Alembert non e' equivalente alle equazioni di Maxwell,
> > hai infatti due equazioni aggiuntive: div E = 0 e rot E = -dB/dt
>
> Giusto! Avevo scordato di scriverlo: le autofunzioni che trovo verificano
> questo vincolo, ma effettivamente va precisato.
>
> > la condizione che la divergenza e' nulla risulta verificata solo
> > kx Ex + ky Ey + kz Ez = 0 per ogni distinto vettore k. Questo
>
> No, questo � falso. L'unica possibilit� per cui kx Ex + ky Ey + kz Ez = 0
> per ogni vettore k � quando Ex = Ey = Ez = 0, cio� un campo elettrico
> identicamente nullo, condizione molto pi� forte della pura indivergenza.
A me sembra corretto, tieni conto che Ex,Ey,Ez sono funzioni non
sono semplici numeri: dato che il campo elettrico
per le tre componenti spaziali del campo lo trovi separando
le variabili cartesiane, allora, se cerchi solo quei modi
del campo le cui componenti cartesiane ammettono valori
definiti di k, non hai alternative: tutte le tre componenti
devono avere dipendere dalla medesima terna k. Ed il prodotto
scalare kE = kx Ex(x,y,z,t) + ky Ey(x,y,z,t) + kz Ez(x,y,z,t)
si puo' annullare. In caso contrario se questi tre modi
dipendessero da valori differenti di k potresti usare il vincolo
sulla divergenza per esprimere una componente come combinazione
lineare di componenti con k differente. Ma le funzioni trigonometriche
con periodo differente sono funzionalmente indipendenti quindi
giungeresti ad un assurdo.
Una volta impostata l'architettura del discorso possiamo
se vuoi precisarlo matematicamente. D'altra parte una
volta che cominci con questa base poi diventa piu' semplice
argomentare sulla circostanza generale che segue:
Se Ex(kx,ky,kz,t) Ey(kx,ky,kz,t) Ez(kx,ky,kz,t)
sono le componenti di Fourier per le componenti spaziali
x,y,z del campo elettrico allora la condizione che la divergenza
e' nulla equivale a dire che per ogni vettore (kx,ky,kz)
vale la condizione k E = 0.
Tieni pero' presente che se la condizione e' verificata
sulle singole componenti di Fourier del campo non
necessariamente lo e' sulla loro somma. Sara' infatti
verificata quasi ovunque, ma per di piu' siccome lo
spazio delle funzioni considerate e' denso in L^2
e' semplice costruire esempi in L^2 di funzioni non
derivabili in un punto, ma tuttavia queste funzioni
hanno serie di Fourier e ogni somma parziale della serie
e' derivabile. Quindi il vincolo sulla divergenza va posto
con maggiore attenzione. Ma questa condizione pone la liberta'
di considerare i campi lungo E_x come dicevi tu. Per esempio:
Ex = Sen(x)Sen(2y)Sen(2z) in una scatola di lato \pi (pi greco).
Lo sviluppo di Fourier di questa componente impone dei vincoli
alle componenti di Fourier delle altre componenti spaziali:
Ey Ez in virtu' della condizione di indivergenza.
> > discende dalla d
efinizione di indipendenza funzionale che risulta
> > verificata per il caso delle funzioni trigonometriche con k diverso,
> > infatti risulta che se la condizione che la divergenza e' nulla
> > implicasse un vincolo identicamente verificato su componenti
>
> Scusa, qui la forma italiana � scorretta e non ti seguo, puoi ripetere?
Forse era involuta e povera di punteggiatura ma esprimeva il
contenuto matematico che ho appena sviluppato.
> > "Di solito" dove? Non sono molto esperto di tutti i libri di testo, ma
> > spesso
> > ho trovato piuttosto impostazioni piu' simili a quelle di cui al punto A.
>
> B�, di certo su tutti quelli che ho consultato:
>
> - Robert Eisberg, Robert Resnick ,"Quantum Physics of Atoms, Molecules,
> Solids, Nuclei, and Particles", wiley, 1985;
> - F.S.Crawford, "La fisica di Berkeley.Onde e oscillazioni", Zanichelli,
> 1972 (non c'� esattamente questo problema ma uno quasi uguale);
> - Mencuccini C.; Silvestrini V., "Fisica 2", 1998, Liguori;
Uh quanti, dei tre l'unico che mi ricordo, ma non l'ho mai
posseduto e' Onde e oscillazioni. Comunque quello sono certo
che sia un buon libro, sulla fiducia che nutro rispetto ai
libri della Berkeley. Gli altri due li conosco davvero poco.
> > > Ma andiamo avanti: il nostro scopo � dimostrare che l'onda piana �
> > > stazionaria, e calcolarne i numeri d'onda ammissibili. Ovviamente non
> > > posso dire che quest'onda vettoriale ha nodi sulle pareti, visto che
> > > direzione di propagazione e oscillazione sono generiche.
Allora visto quello che scrivi in seguito ti rigiro la domanda:
come definisci un'onda stazionaria? E come puoi sperare
di dimostrare che un'onda piana confinata in una scatola
sia non dico stazionaria, ma soluzione delle equazioni
vincolate che hai descritto? Ad ogni modo non e' necessario
partire da soluzioni per ottenere combinazioni lineari che
siano soluzioni vincolate. Diciamo che i vincoli si vengono
a verificare da se per la compatibilita' dei modi riflessi
dai sei piani in gioco. Nota che i piani sono sei ma il
numero di immagini combinate distinte nello spazio k e' otto.
> > Infatti. Tuttavia i modi stazionari corretti possono
> > essere ottenuti come somma di onde piane (entro la scatola
> > per onda piana si intende che la soluzione e' costante su
> > tutti i punti contenuti in uno stesso piano parallelo ad un
> > piano di riferimento assegnato), ma queste
> > non sono onde piane che si propagano nelle direzioni
> > delle pareti. Per dimostrare questo basta ricorrere alla
> > rappresentazione di Eulero delle funzioni trigonometriche.
>
> B�, io la vedrei pi� sotto la forma della teoria di Fourier per PDE
> vettoriali lineari ecc. come dicevo prima. La soluzione di un generico
> problema di propagazione di onde si ottiene come "somma infinita" di onde
> piane aventi direzione di propagazione qualsiasi ( per la precisione, serie
> di Fourier per domini limitati o integrale di Fourier per domini
> illimitati).
Attento che e' in linea di principio un modo corretto
di ragionare, ma puo' esser molto difficile da implementare:
quello che tu proponi e' di soddisfare le equazioni di bordo
partendo dalla soluzione generale del problema libero ristretta
ad un dominio. Allora la restrizione ad un dominio comporta
che una quantita' di gradi di liberta' del problema libero sono
di troppo e si puo' scegliere infatti di ricondursi allo schema
in estensione compatta sulla retta, ovvero all'analisi di Fourier
discreta. Tuttavia questa deve discendere, se vogliamo, dall'uso
delle equazioni generali. Cosa e' il problema di una scatola
a pareti riflettenti? E' il problema di trovare una distribuzione
di cariche e di correnti e di campi tali che:
i campi siano nulli fuori dalla scatola,
le correnti e le cariche si adattino compatibilmente
a consentire questa condizione. Una questione difficile
e' verificare se il vincolo dato dall'equazione di continuita'
ed il vincolo sui campi sono compatibili se vuoi ci penso, ma
tieni presente che questo, se e' possibile non va ad abbattere
significativamente il numero di gradi di liberta' dentro la
scatola, mentre se non e' possibile peggiora la situazione, perche'
aumenta lo spazio delle fasi per i modi del campo. Questo e' un
problema formidabile. Ma se vuoi, e' un problema che non aiuta a
risolvere il paradosso di Rayleigh Jeans, aiuta solo a comprendere
che esiste una problematica difficile che e' stata accantonata
dal fatto che la soluzione proposta da Planck era in accordo con
i fatti sperimentali, dal fatto che la quantizzazione di Dirac
applicata ai campi elettromagnetici ha permesso di porre su una
base autoconsistente la statistica di Bose-Einstein che a sua
volta aveva posto le basi per la comprensione dell'ipotesi di
equispaziatura di Planck in termini modi quantizzati indipendenti
ed in indistinguibili del campo elettromagnetico. A dire il vero
Einstein pensava ad altro. Einstein penso' che postulando
l'indistinguibilita' dei fotoni si risolveva, grazie al lavoro
di Bose, il problema di fondare l'ipotesi di Planck, ma anche
altre questioni che aveva presenti, ma per Einstein i fotoni
potevano essere, fino a prova contraria, corpuscoli.
> Tu invece a cosa ti riferisci? Parli di onde stazionarie lungo
> una direzione qualunque, che sono sempre visibili come la somma di due onde
> piane lungo quella direzione aventi verso di propagazione opposto? Non
> credo.
Si esattamente mi riferivo a quello che dici.
> > > Allora si usa
> > > il "trucchetto", cui ricorre pure Feynman, di decomporre quest'onda
> > > piana in tre onde piane "componenti", aventi direzione di propagazione
> > > lungo gli assi x,y,z. Ma ancora una volta, che significa "onde
> > > componenti"?
> >
> > Non e' proprio cosi': e' che l'impulso k assegnato alle onde piane della
> > rappresentazione esponenziale puo' essere rappresentato in termini
> > delle sue componenti. A questa scomposizione dell'impulso
> > corrisponde una fattorizzazione delle componenti esponenziali nel prodotto
> > di esponenziali dipendenti rispettivamente da k_x * x, k_y * y, k_z * z.
>
> Componenti intese non come coefficienti di una combinazione lineare di
> vettori indipendenti, ma come fattori di una fattorizzazione in funzioni
> dipendenti da una sola variabile, gisusto? Allora � quello a cui mi
> riferisco alla fine del post dicendo che
si mi sembra corretto.
> > > Non
> > > per combinazione lineare, mi pare: dico questo perch� se ricorro alle
> > > formule di addizione e sottrazione, mi ritrovo con dei *prodotti* di
> > > onde piane, non combinazioni lineari. Sto in pratica *fattorizzando* la
> > > soluzione, e questo funziona perch� il dominio � rettangolare
> >
> > Puoi allora ottenere con semplicita' la composizione dell'onda stazionaria
> > usando le rappresentazioni di Eulero delle funzioni trigonometriche. Per
> > ciascuna delle tre direzioni avrai allora due componenti. Per un totale
> > di otto versi di propagazione e di 16 onde piane
>
> Perch� otto versi? Non posso prendere le k_i sempre positive introducendo se
> necessario costanti di compensazione di fase?
Devo pensarci. Mi sembra di no. Ma se dici che puoi cambiare
il segno della frequenza nella componente di fase che esprime
la dipendenza dal tempo potrei cambiare idea.
> Lascia stare le condizioni di polarizzazione ed il completamento con
> l'aggiunta del campo elettromagnetico, quello � giusto ma in questo tipo di
> ragionamento "ce lo infiliamo alla fine", cio� subito prima di calcolare i
> gdl moltiplico per due :-)
cosa sono i gdl? Ah i gradi di liberta'? Perche'
hai due polarizzazioni. Non e' che ce lo infili
tu e' che tanti sono i "gradi" di polarizzazione.
Ma i gradi di liberta' del campo sono infiniti,
solo che il volume di fase contenuto in un guscio
di energia assegnata va come ||k||^2 donde Rayleigh
Jeans. Altro conto e faccenda il concetto di volume
di fase fondamentale che si vorrebbe associare alla
quantizzazione di Planck tutt'altra faccenda e
difficolta' stratificata come accennavo prima.
> [..]
>
> Del resto parliamo alla prossima se no mettiamo troppa carne al fuoco,
> grazie di tutto e alla prossima,
Spero di vaccinarmi in tempo.
> Ciao,
>
> Andrea
>
>
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Received on Sat Oct 15 2005 - 22:56:00 CEST