(wrong string) � della radiazione elett

From: Tetis <gianmarco100_at_inwind.it>
Date: Thu, 13 Oct 2005 10:29:21 GMT

                    Il 12 Ott 2005, 14:02, andrea <andrea2_at_despammed.com> ha scritto:
> Ciao,
>
> ho molti dubbi relativi alla dimostrazione della legge di
> Rayleigh-Jeans.

Ci sarebbe da fare una gran quantita' di discussioni
sulle sottilissime questioni della deduzione della legge
di Rayleigh Jeans, ma il discorso portebbe troppo lontano
e non sono il piu' quotato per affrontarlo con la dovuta
padronanza storica e logica. Quindi cerchero' di seguirti
per lo meno sulle questioni di elettromagnetismo.

>Per chi non si ricordasse di che si tratta, trattasi di
> determinare lo spettro del corpo nero all'equilibrio termico. Con un
> paio di sottili osservazioni di termodinamica, dimostriamo che tutto il
> problema si pu� ricondurre allo studio dello spettro del campo
> elettromagnetico all'interno di una cavit� metallica cubica, quando le
> pareti hanno temperatura uniforme T.
> Il problema m'� sembrato subito un banale caso di PDE lineari in dominio
> rettangolare D, per cui ho cercato le autofunzioni dell'operatore
> "equazione delle onde in D + opportune condizioni al contorno su _at_D",
> dopodich� applicando il principio di completezza delle autofunzioni
> avrei ottenuto "gratis" la soluzione (se non v'� chiaro cosa ho detto
> passate direttamente alla parte B) del post). Il problema sono le
> "opportune condizioni al contorno"!
>
> A)
> Detto in altre parole, Ex (risp. Ey, Ez) soddisfa l'equazione delle onde
> classica:
>
> (_at_^2/_at_t^2)Ex = c^2*(@^2/_at_x^2+@^2/_at_y^2+@^2/_at_z^2)Ex
>
> con le condizioni al contorno (pareti perfettamente conduttrici)
>
> y=0, y=L => Ex = 0
> z=0, z=L => Ex = 0
>
> ma per x=0, x=L?? Ho Ex = sigma/epsilon0 che per ottenere delle
> autofunzioni decenti fa solamente schifo. Naturalmente me la cavo con un
> argomento di simmetria che fornisce sigma(0,y,z,t) = sigma(L,y,z,t) =>
> Ex(0,y,z,t) = Ex(L,y,z,t) e a questo punto trovare le autofunzioni �
> "piece of cake": notare che le autofunzioni trovate sono s� onde
> stazionarie ma non sono affatto piane, manco per idea. Cos� facendo
> ritrovo facilmente tutti i risultati di Rayleigh-Jeans. Vi quadra?
> Sapreste farlo senza ricorrere alla simmetria?

C'e' un'iincompletezza nella tua presentazione che va
colmata osservando che il sistema delle equazioni di
D'Alembert non e' equivalente alle equazioni di Maxwell,
hai infatti due equazioni aggiuntive: div E = 0 e rot E = -dB/dt
la condizione che la divergenza e' nulla risulta verificata solo
kx Ex + ky Ey + kz Ez = 0 per ogni distinto vettore k. Questo
discende dalla definizione di indipendenza funzionale che risulta
verificata per il caso delle funzioni trigonometriche con k diverso,
infatti risulta che se la condizione che la divergenza e' nulla
implicasse un vincolo identicamente verificato su componenti
del campo con k differenti fra loro sarebbe possibile ottenere
una funzione trigonometrica con un certo k come combinazione
di funzioni trigonometriche con k differente. Ne discende che
le soluzioni sono espresse da un campo elettrico della forma:

Ex(x,y,z,t) = Ex cos(kx x) sen(ky y) sen(kz z) sen(om t + phi)
Ey(x,y,z,t) = Ey sen(kx x) cos(ky y) sen(kz z) sen(om t + phi)
Ez(x,y,z,t) = Ez sen(kx x) sen(ky y) cos(kz z) sen(om t + phi)

e da un campo magnetico della forma:

Bx(x,y,z,t) = Bx cos(kx x) sen(ky y) sen(kz z) cos(om t + phi)
Bx(x,y,z,t) = By sen(kx x) cos(ky y) sen(kz z) cos(om t + phi)
Bx(x,y,z,t) = Bz sen(kx x) sen(ky y) cos(kz z) cos(om t + phi)

dove k E = 0 e
B = - k x E / om



> B)
> Di solito il ragionamento non � quello che facevo io, ma quest'altro: si
> considera come generica soluzione un'onda armonica piana polarizzata
> linearmente, diretta lungo un vettore k qualsiasi: che questo sia
> lecito deriva ovviamente dalla teoria di Fourier per PDE vettoriali
> lineari a coefficienti costanti. Ora, si dice che "poich� le pareti sono
> a due a due ortogonali, le componenti dell'onda non si mescolano fra
> loro". Che vuol dire? Io di componenti conosco quelle del campo
> elettrico, ma di certo qui non si riferisce a quelle, ma alle
> "componenti dell'onda", cio�? Ha a che fare con la dimostrazione che
> che il vettore d'onda �, appunto, un vettore? Che vuol dire che "non si
> mescolano"?

"Di solito" dove? Non sono molto esperto di tutti i libri di testo, ma
spesso
ho trovato piuttosto impostazioni piu' simili a quelle di cui al punto A.
Tuttavia il passo che hai scritto
tu credo sia riferito esattamente alle componenti elettriche e magnetiche
dell'onda. Ovvero: la condizione sulla componente ortogonale di E, e di B
e sulla componte parallela di E e di B sono esattamente condizioni sulle
componenti cartesiane del campo elettromagnetico prese una per una e mai
vincolate fra loro in una data equazione. Se invece, ad
esempio, avessimo una parete a 45 gradi contenente l'asse z avremmo
che E|| e' il vettore (Ex,Ey=Ex,Ez) ovvero interverrebbe il vincolo Ex=Ey
dunque
non potremmo dire che le condizioni ai bordi non mescolano fra
di loro componenti differenti del campo.

> Ma andiamo avanti: il nostro scopo � dimostrare che l'onda piana �
> stazionaria, e calcolarne i numeri d'onda ammissibili. Ovviamente non
> posso dire che quest'onda vettoriale ha nodi sulle pareti, visto che
> direzione di propagazione e oscillazione sono generiche.

Infatti. Tuttavia i modi stazionari corretti possono
essere ottenuti come somma di onde piane (entro la scatola
per onda piana si intende che la soluzione e' costante su
tutti i punti contenuti in uno stesso piano parallelo ad un
piano di riferimento assegnato), ma queste
non sono onde piane che si propagano nelle direzioni
delle pareti. Per dimostrare questo basta ricorrere alla
rappresentazione di Eulero delle funzioni trigonometriche.

> Allora si usa
> il "trucchetto", cui ricorre pure Feynman, di decomporre quest'onda
> piana in tre onde piane "componenti", aventi direzione di propagazione
> lungo gli assi x,y,z. Ma ancora una volta, che significa "onde
> componenti"?

Non e' proprio cosi': e' che l'impulso k assegnato alle onde piane della
rappresentazione esponenziale puo' essere rappresentato in termini
delle sue componenti. A questa scomposizione dell'impulso
corrisponde una fattorizzazione delle componenti esponenziali nel prodotto
di esponenziali dipendenti rispettivamente da k_x * x, k_y * y, k_z * z.

Puoi allora ottenere con semplicita' la composizione dell'onda stazionaria
usando le rappresentazioni di Eulero delle funzioni trigonometriche. Per
ciascuna delle tre direzioni avrai allora due componenti. Per un totale
di otto versi di propagazione e di 16 onde piane (infatti hai due gradi di
liberta' per ogni verso compatibilemente con la condizione di
polarizzazione)
necessarie per rappresentare ogni singola componente nell'ipotesi di
stazionarieta' del campo. Una volta ottenute le onde piane per la parte
elettrica il completamento a soluzioni delle equazioni di Maxwell con
l'aggiunta del campo elettromagnetico e' univoco.

Ribaltando questo ragionamento e' vero che la condizione al bordo
puo' essere imposta sulla rappresentazione esponenziale complessa e
porta ad equazioni vincolari che riguardano separatamente le diverse
componenti: Ex, Ey, Ez, Bx, By, Bz, del campo elettromagnetico e
magnetico. Le equazioni della divergenza e del rotore del campo
elettrico completano i vincoli coerentemente con quello che abbiamo
trovato nello schema trigonometrico.Tuttavia se fai l'esercizio usando
le rappresentazioni esponenziali troverai che le equazioni vincolari
riguardano generalmente ottetti di coppie di onde piane di diversa
polarizzazione. Ma ciascuno di questi ottetti e' caratterizzato dallo
stesso valore di |kx|, |ky|, |kz|.

> Non sono le componenti del campo elettrico, e non sono
> manco componenti in frequenza perch� sia l'onda piana che le sue
> "componenti" sono onde monocromatiche aventi tutte la stessa pulsazione.
> Come ottengo un'onda piana diretta lungo una direzione qualunque tramite
> composizione di onde piane dirette lungo tre direzioni indipendenti?

Non puoi: la somma di onde in direzione x, y, z rimane tale, invece
puoi costruire un'onda stazionaria sommando onde con direzioni
di propagazione diverse. Tuttavia, in verita', le direzioni necessarie
per ottenere un'onda stazionaria sono quattro, secondo della scelta
dei segni delle componenti di k. Con otto vettori k, due a due
contrapposti, e quindi con quattro direzioni puoi costruire
un'onda stazionaria. Usando i due gradi di polarizzazione quest'onda
stazionaria risultera' reale.
 
 Questo perche' sommando due onde piane che risolvono
il sistema di Maxwell che si propagano in direzioni
opposte posso ottenere un'onda che ha solo
componente elettrica del campo e, cambiando
opportunamente la fase relativa, solo componente
magnetica, ma questo sara' vero solo per un istante.


> Non
> per combinazione lineare, mi pare: dico questo perch� se ricorro alle
> formule di addizione e sottrazione, mi ritrovo con dei *prodotti* di
> onde piane, non combinazioni lineari. Sto in pratica *fattorizzando* la
> soluzione, e questo funziona perch� il dominio � rettangolare. E' questo
> che si intende? Immagino che ci sia sotto un potente concetto di spazio
> vettoriale delle onde: per passare da prodotti a combinazioni lineari e
> finire in un bello spazio vettoriale, suppongo che dovr� ricorrere agli
> esponenziali complessi...Insomma qualcosa che gi� conosco ma visto da un
> altro punto di vista, pi� fisico e meno matematico. Mi aiutate ad
> esplicitare questo punto di vista? Grazie mille,

Non sono convintissimo della superiorita' del linguaggio
delle polarizzazioni complesse in questo caso, tuttavia
e' necessario avere chiaro quello che questo linguaggio
sottende. Cio' a che serve e' che se parti dalle equazioni
di D'alembert tu in verita' stai partendo da un sistema di
equazioni che e' necessariamente verificato dalle soluzioni
delle equazioni di Maxwell per i campi elettromagnetici,
ma che non e' sufficiente a verificare le equazioni di
Maxwell. Invece se parti dal linguaggio delle polarizzazioni
complesse stai limitando il discorso a soluzioni esatte
per il sistema di Maxwell.

> Ciao,
>
> Andrea
> --
> http://groups-beta.google.com/group/fluidodinamica un nuovo newsgroup in
> italiano per discussioni sulla fluidodinamica in tutti i suoi aspetti
> (teoria, esperimenti, simulazioni, ecc.) e applicazioni.
>
          

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Inviato via http://arianna.libero.it/usenet/
Received on Thu Oct 13 2005 - 12:29:21 CEST

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