Ciao,
ho molti dubbi relativi alla dimostrazione della legge di
Rayleigh-Jeans. Per chi non si ricordasse di che si tratta, trattasi di
determinare lo spettro del corpo nero all'equilibrio termico. Con un
paio di sottili osservazioni di termodinamica, dimostriamo che tutto il
problema si pu� ricondurre allo studio dello spettro del campo
elettromagnetico all'interno di una cavit� metallica cubica, quando le
pareti hanno temperatura uniforme T.
Il problema m'� sembrato subito un banale caso di PDE lineari in dominio
rettangolare D, per cui ho cercato le autofunzioni dell'operatore
"equazione delle onde in D + opportune condizioni al contorno su _at_D",
dopodich� applicando il principio di completezza delle autofunzioni
avrei ottenuto "gratis" la soluzione (se non v'� chiaro cosa ho detto
passate direttamente alla parte B) del post). Il problema sono le
"opportune condizioni al contorno"!
A)
Detto in altre parole, Ex (risp. Ey, Ez) soddisfa l'equazione delle onde
classica:
(_at_^2/_at_t^2)Ex = c^2*(@^2/_at_x^2+@^2/_at_y^2+@^2/_at_z^2)Ex
con le condizioni al contorno (pareti perfettamente conduttrici)
y=0, y=L => Ex = 0
z=0, z=L => Ex = 0
ma per x=0, x=L?? Ho Ex = sigma/epsilon0 che per ottenere delle
autofunzioni decenti fa solamente schifo. Naturalmente me la cavo con un
argomento di simmetria che fornisce sigma(0,y,z,t) = sigma(L,y,z,t) =>
Ex(0,y,z,t) = Ex(L,y,z,t) e a questo punto trovare le autofunzioni �
"piece of cake": notare che le autofunzioni trovate sono s� onde
stazionarie ma non sono affatto piane, manco per idea. Cos� facendo
ritrovo facilmente tutti i risultati di Rayleigh-Jeans. Vi quadra?
Sapreste farlo senza ricorrere alla simmetria?
B)
Di solito il ragionamento non � quello che facevo io, ma quest'altro: si
considera come generica soluzione un'onda armonica piana polarizzata
linearmente, diretta lungo un vettore k qualsiasi: che questo sia
lecito deriva ovviamente dalla teoria di Fourier per PDE vettoriali
lineari a coefficienti costanti. Ora, si dice che "poich� le pareti sono
a due a due ortogonali, le componenti dell'onda non si mescolano fra
loro". Che vuol dire? Io di componenti conosco quelle del campo
elettrico, ma di certo qui non si riferisce a quelle, ma alle
"componenti dell'onda", cio�? Ha a che fare con la dimostrazione che
che il vettore d'onda �, appunto, un vettore? Che vuol dire che "non si
mescolano"?
Ma andiamo avanti: il nostro scopo � dimostrare che l'onda piana �
stazionaria, e calcolarne i numeri d'onda ammissibili. Ovviamente non
posso dire che quest'onda vettoriale ha nodi sulle pareti, visto che
direzione di propagazione e oscillazione sono generiche. Allora si usa
il "trucchetto", cui ricorre pure Feynman, di decomporre quest'onda
piana in tre onde piane "componenti", aventi direzione di propagazione
lungo gli assi x,y,z. Ma ancora una volta, che significa "onde
componenti"? Non sono le componenti del campo elettrico, e non sono
manco componenti in frequenza perch� sia l'onda piana che le sue
"componenti" sono onde monocromatiche aventi tutte la stessa pulsazione.
Come ottengo un'onda piana diretta lungo una direzione qualunque tramite
composizione di onde piane dirette lungo tre direzioni indipendenti? Non
per combinazione lineare, mi pare: dico questo perch� se ricorro alle
formule di addizione e sottrazione, mi ritrovo con dei *prodotti* di
onde piane, non combinazioni lineari. Sto in pratica *fattorizzando* la
soluzione, e questo funziona perch� il dominio � rettangolare. E' questo
che si intende? Immagino che ci sia sotto un potente concetto di spazio
vettoriale delle onde: per passare da prodotti a combinazioni lineari e
finire in un bello spazio vettoriale, suppongo che dovr� ricorrere agli
esponenziali complessi...Insomma qualcosa che gi� conosco ma visto da un
altro punto di vista, pi� fisico e meno matematico. Mi aiutate ad
esplicitare questo punto di vista? Grazie mille,
Ciao,
Andrea
--
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Received on Wed Oct 12 2005 - 14:02:21 CEST