Il 29 Ago 2005, 18:28, gianmarco100_at_inwind.it (Tetis) ha scritto:
> Il 16 Ago 2005, 22:03, "Hypermars" <hypermars_at_despammed.com> ha scritto:
> >
> > "Tetis" <gianmarco100_at_inwind.it> wrote in message
> > news:82Z89Z29Z18Y1124193494X4692_at_usenet.libero.it...
Come scrivevo:
nel frattempo ho messo a posto con pi� attenzione lo schema
> risolutivo che avevo suggerito, ho scritto la ricorsione per le cariche
> immagine, l'ho graficata per un certo numero di iterazioni, ho studiato
> il comportamento asintotico approssimando la ricorsione con una
> equazione integrale che ho risolto in trasformata di Laplace, ho
dimostrato
> che la serie delle cariche immagine � convergente, anche se la serie del
> potenziale � singolare nel punto di contatto ed ho calcolato il potenziale
> in un punto della sfera che non � quello di conttatto, qui la serie del
> potenziale
> converge. Quello che trovo con questo approccio � che
> i termini pi� importanti di correzione sono essenzialmente dovuti alle
> immagini nei pressi del centro della sfera. L'effetto della prossimit�
> del piano � uno schermo sulla carica centrale, che viene ridotta dal
> valore iniziale fino a meno della met� con poche iterazioni ed ad un
> quarto del valore iniziale con solo 15 iterazioni.
> Ma quando pongo la distanza
> a zero la serie delle immagini converge logaritmicamente. Ad ogni modo
> iterando
> solo 12 volte la ricorsione delle immagini trovo un potenziale circa .26
> iterando 25 volte trovo .23, e la serie continua a scendere verso il
valore
> asintotico con molta lentezza, l'errore residuo � stimato bene da 1/ln(n)
..
> Quindi il potenziale a convergenza sarebbe sicuramente minore di .23.
> Il valore limite ottenuto estrapolando al comportamento asintotico dei
> primi 25 termini � intorno
> a .16 .17. Per inciso questo fornisce il teorema che ipotizzavo ed anche
> qualcosa di pi�. Infatti questo comportamento asintotico dice che il
> potenziale
> della sfera quando molto vicina al piano � molto sensibile a piccolissime
> variazioni della distanza. Vedi dopo per una stima quantitativa
> approssimativa
> di questa sensibilit�.
Appena ho avuto nuovamente accesso al file del prof. Fabri, che ringrazio
per
la solerzia, ho cercato un modo per confrontare i risultati, il punto
pi� delicato, su cui ho trovato una difficolt� che al momento non
mi riesce di superare � collegare la soluzione esatta, espressa
in forma di serie, per
il potenziale con l'espressione per la carica. La difficolt� che trovo
� che per ottenere la carica sulla superfice della sfera, assunto il
potenziale sul piano uguale a zero ed il potenziale sulla sfera unitario,
devo valutare gli integrali dei polinomi di Legendre di ordine n
con l'elemento di area delle coordinate bisferiche, che dai conti
fatti risulta pari a sen(nu)/(cosh(mu)-cos(nu))^2. Questo va
moltiplicato per la densit� superficiale di carica, che si ottiene
dal potenziale mediante la derivata normale. Ovvero gradiente dei
termini potenziali moltiplicati scalarmente per il vettore normale
alla sfera. Oppure pi� semplicemente, sfruttando l'ortogonalit�
delle coordinate, derivata parziale rispetto a mu divisa per
l'elemento di lunghezza dl/d_mu.
Se non fosse per questa derivata normale, che coinvolge una
radice quadrata del fattore di lunghezza lungo r, si tratterebbe di semplici
integrali razionali. La difficolt� che non sono certo di riuscire ad evitare
� quella di ricorrere ad uno sviluppo di Taylor. In tal caso le espressioni
diventano complesse da gestire in forma chiusa per ogni ordine
di sviluppo, problema che era stato evitato gradevolmente, per lo
sviluppo del potenziale, dall'uso di variabili separabili.
Nuovamente potrebbe porsi un problema di
espressioni ricorsive ed un problema nella gestione dei limiti, analogamente
a quello che trovavo con la concatenazione delle
cariche immagine, alcune delle espressioni che ho trovato dai
primi tentativi richiedono una descrizione per iterazioni che
riecheggiano effettivamente le iterazioni nel caso del metodo
delle cariche immagine.
Riepilogando:
per quella via, che deriva dal metodo di inversione di Poisson e porta, nel
caso generale di due sfere a sviluppi in frazioni continue della posizione
delle immagini, trovavo delle equazioni ricorsive
per le cariche, di cui non ho trovato poi un'espressione immediata in
termini
di frazioni continue, ma solamente approssimazioni asintotiche.
Quindi __espressioni semplici per le posizioni, espressioni pi� laboriose
per le cariche__. Nel limite in cui la distanza dal piano si assottiglia
fino
ad annullarsi sommare la serie che esprime il potenziale richiede la
considerazione di moltissimi termini, perch� la convergenza � di
tipo logaritmico e non permette di giungere ad una approssimazione
ben controllata in tempi brevi, a meno di non ricorrere ad avanzate
tecniche di trattamento del problema discreto soggiacente.
Ora alcuni degli integrali che trovo proseguendo sulla via proposta
dal professor Fabri sono invece delle serie ipergeometriche.
Il modo in cui ho derivato queste espressioni passa per lo
sviluppo in serie di Taylor del binomio: (Cosh(mu)-cos(nu))^k
Questo sviluppo che in s� � di notevole semplicit� anche per k
seminteri, come nel nostro caso, deve essere considerato in
combinazione con i polinomi di Legendre. Risulta che gli
integrali in dy di cos^n(y) Legendre_m(y) sen(y) sono in generale
diversi da zero anche se m � diverso da n. Purch� questa
differenza non sia tale che 2m>n o 2n>m. Questo porta a dovere
considerare per ogni ordine una molteplicit� di contributi. Quindi
ancora mi ritrovo a dovere gestire espressioni di cui non conosco
una forma chiusa.
Guarder� di cercare qualche trucco per domare
la difficolt� di queste espressioni, ammesso che ne esista
qualcuno, perch� sono davvero desideroso di trovare
un'espressione anche approssimata, ma valutabile in tempi
ragionevoli del potenziale di questo tostissimo problema proposto
da Hypermars e Fabri, quando cio� la distanza � zero.
Intanto ho implementato anche la ricorsione per il problema a
distanza non nulla ed ho trovato che per ottenere potenziale
..557(3) occorre una distanza d dal piano tale che d/a = .303
dove a � il raggio della sfera. Per questi valori la serie
converge, gi� in 5 iterazioni del metodo delle immagini,
oltre la quarta cifra significativa.
Btw, sospetto che esista un seguito a queste pagine. Discuteva
forse una espressione della carica totale in funzione del potenziale e
dei parametri geometrici, come promesso nell'introduzione? Se si
mi piacerebbe dare una sbirciatina alla soluzione.
Se non esisteva � perch� il problema � resistente o perch� non
� stato affrontato?
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Inviato via
http://arianna.libero.it/usenet/
Received on Thu Sep 01 2005 - 22:51:44 CEST