Re: volo di piccione

From: Giorgio Bibbiani <giorgio_bibbianiTOGLI_at_virgilio.it.invalid>
Date: Tue, 20 Dec 2011 08:51:26 +0100

Enrico B ha scritto:
> Ecco qui un problemino interesante ma per me non facilissimo.

Dipende solo dall'aver trovato l'approccio corretto, questo
problemino e' un classico "rompicapo". ;-)

> Due treni a distanza D si muovono l'uno verso l'altro con velocit� v�.
> Un piccione situato sulla locomotiva del primo treno parte e si
> dirige verso l'altro treno con velocit� v1>v�, non appena tocca la
> locomotiva del secondo treno torna indietro con la stessa velocit�
> (-v1) e cos� via fino a quando i due treni non si scontrano.
> Si chiede qual'� il n� dei viaggi del piccione e la distanza percorsa
> prima dello scontro

Nel seguito modellizziamo il piccione come un punto materiale,
ovverosia trascuriamo le sue dimensioni rispetto a D (altrimenti
si fa lo stesso ragionamento soltanto sottraendo a D la
"lunghezza" del piccione).

-Soluzione "veloce"-
Il piccione compira' infiniti viaggi tra le due locomotive perche'
dopo aver compiuto l'n-esimo viaggio e trovandosi a contatto
con una delle due locomotive, allora raggiungera' l'altra
locomotiva prima che le due locomotive si incontrino
dato che per ipotesi v1 > v�, quindi compira' anche l'(n+1)-esimo
viaggio e cosi' via all'infinito, la distanza totale d percorsa dal
piccione sara', posta Deltat = D / (2v�) la durata di tempo
trascorsa tra l'istante iniziale e quello in cui le locomotive
si urtano:
d = Delta t * v1 = D / (2v�) * v1.

-Soluzione "lenta"-
d e' la sommatoria delle infinite distanze parziali tra due inversioni
della velocita', nel viaggio n-esimo (n > 0), quando le locomotive
distano D_n (posto D_1 = D), dato che la velocita' relativa del
piccione rispetto alla locomotiva che va a urtare e' v1 + v�, il
piccione viaggia per una durata di tempo:
(1) Deltat_n = D_n / (v1 + v�),
e percorre una distanza:
(2) d_n = Deltat_n * v1 = D_n * v1 / (v1 + v�),
e la distanza tra le locomotive diventa allora:
(3) D_(n+1) = D_n - Deltat_n * 2 v� =
D_n * k,
(avendo posto k = (v1 - v�) / (v1 + v�)),
da (2) e (3) si ricava:
(4) d_(n+1) = d_n * k,
e, dato che d_1 = D * v1 / (v1 + v�), si ha infine:
d = Sum_{n=1}^{+oo} (d_n) =
d_1 * Sum_{n=0}^{+oo} (k^n) =
d_1 / (1 - k) = D / (2v�) * v1.

Ad es., nel caso che il piccione viaggi a velocita' doppia
rispetto a una locomotiva, v1 = 2v�, allora la distanza
totale percorsa dal piccione risulterebbe pari a D.
Il fatto che il piccione compia infiniti viaggi e' conseguenza
dell'averlo considerato come un corpo rigido in grado di
invertire istantaneamente il valore della sua velocita', cio'
ovviamente non e' verosimile e nella realta' il numero di
viaggi del piccione risulterebbe finito (sempre che il poveretto
non terminasse tragicamente il percorso nel primo urto
con una locomotiva...;-).

Ciao
--
Giorgio Bibbiani



Received on Tue Dec 20 2011 - 08:51:26 CET