"Hypermars" <hypermars_at_despammed.com> wrote in message
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> Il potenziale all'interno di una sfera conduttrice carica e' di 1 V. Se la
> sfera viene portata a sfiorare un piano infinito conduttore, quanto diventa
> il potenziale interno?
>
> A me viene 0.557(3) V
>
> Qualcuno ha voglia di confermare? Si riesce a scrivere il risultato
> analiticamente, ammesso che sia giusto?
Dunque scrivendo in modo un poco pi� ordinato
quello che trovo � una serie che nell'ottima
delle ipotesi � condizionatamente
convergente. In effetti l'ultima delle cariche immagine
prodotte al passo n di iterazione del metodo delle immagini
� la carica Q/n ed � a distanza dal centro:
an/(n+1), indicando con a il raggio della sfera.
Le cariche immagine della prima immagine
compensativa, cio� della carica che si aggiunge
nel centro per conservare la carica totale entro
la sfera danno luogo ad una concatenazione
che al passo n ha come ultima immagine la
carica Q/2(n-1) posta a distanza a(n-1)/n, ed
ha segno negativo. Quello che si ha da sommare al
passo n � dunque una somma a segni alterni:
(n+1)/n^2 - n/[2(n-1)^2] + n/[3(n-2)^2]...
questa � una somma controllata da
un comportamento asintotico non semplice
da trovare infatti le prime coppie sono
certamente positive, mentre le ultime sono
certamente negative. Purtroppo per� i primi
termini sembrano essere asintoticamente di
tipo armonico, quindi non riesco a dire nulla
senza uno studio pi� attento della somma
complessiva. Forse numericamente � pi�
semplice trovare questo comportamento asintotico
e verificarne l'eventuale convergenza,
ma mi occorre un programma di cui al momento in
cui scrivo non dispongo per accertarmene, forse
fra qualche giorno avr� tempo per fare il controllo
che chiedi. Ammesso e non concesso
che la somma che ho scritto sia corretta.
E' possibile fare una considerazione, su
questa somma, che
per� occorre valutare con i piedi di piombo
prima di tentarne qualsivoglia applicazione.
Si possono riordinare i termini della serie
in modo che ogni sito di posizione a/n occupi
una carica che risulta dalla somma di una serie
armonica a segni alterni. Nessun teorema
garantisce per� che questa somma sia equivalente
a quella di prima. Quello che con certezza possiamo
osservare � che la funzione potenziale
non pu� essere analitica nel punto di contatto.
A dire tutta la verit� non pu� essere che una
funzione generalizzata dal momento che il potenziale
� discontinuo e vale un numero sulla sfera e zero sul
piano. Un modo di procedere su binari pi� rodati pu�
essere di considerare il caso di una sfera carica ed
una sfera a potenziale nullo, e poi studiare il limite
del caso. Ma non ricordo se ho dei libri in cui il caso
� trattato e risultati analitici sono espressi. Tu
come hai fatto?
> Bye
> Hyper
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Received on Fri Jul 29 2005 - 17:13:14 CEST