Riflessione sul problema inverso

From: Neo <neosharp_at_gmail.com>
Date: Mon, 19 Dec 2011 03:28:50 -0800 (PST)

Ciao a tutti, stavo iniziando a guardare il problema inverso (che
definir� sotto) e visto che con una ricerca nei post passati non � mai
uscito lo propongo io.

Vorrei precisare i termini del problema: dato un sistema di equazioni
differenziali del secondo ordine

dd(q^i) + C^i = 0 (dove d sta per d/dt derivata formale rispetto al
tempo) (1)

trovare le condizioni per cui esiste una lagrangiana che ha quelle
come equazioni di Eulero Lagrange.

il problema non dovrebbe essere banale nel senso che dovrebbero
esserci sistemi che non ammettono lagrangiane. Sinceramente tra gli
esempi che ho pensato tutti ammettevano lagrangiane, temo che debbano
essere ricercati su esempi molto patologici e forse su condizioni
topologiche dello spazio delle configurazioni un po' "esotiche".

Tuttavia con questo metodo, accertato che siano soddisfatte certe
condizioni, si ottiene automaticamente una lagrangiana del sistema.

Dunque, per prima cosa dobbiamo ammettere che esista una forma non
degenere A_ij che trasformi il sistema (1) in quello equivalente:

E_i := A_ij dd(q^j) + B_i = 0 (2)

Questo � necessario in quanto si vuole avere le equazioni di E-L come
forma variazionale di qualcosa, quindi siccome nell'azione ci
aspettiamo una cosa tipo

int_t1^t2 (E_i) delta(q^i) dt = 0

allora � necessario averle in quella forma.

Ora, dato il sistema (2), esiste una lagrangiana che ammette quelle
come equazioni di E-L? La risposta � si se e solo se sono soddfisfatte
le condizioni di Helmholtz elencate nella formula (1.4) di questo pdf:

http://www.mathem.pub.ro/bjga/v15n1/B15-ks.pdf

La cosa interessante � che la lagrangiana del sistema �: L= int_0^1
E_i(t,q u,dq u, ddq u) q^i du

La cosa si pu� vedere facilmente su un esempio: oscillatore armonico.

Le equazioni del moto sono: ddx + alpha^2 x = 0

Soddisfa le condizioni di H. (non fosse altro perch� sappiamo che
esiste la lagrangiana T+V) e quindi possiamo costruirla a mano:

L = (ddx + alpha^2 x)x int_0^1 u du = 1/2 (ddx + alpha^2 x)x

La prima cosa che si nota � che questo procedimento alza di grado la
lagrangiana. In effetti la lagrangiana T + V � del primo ordine,
mentre questa � del secondo (cio� contiene le derivate seconde nelle
variabili in base, in questo caso il tempo). Non � un problema, basta
scrivere le equazioni di E-L per una lagrangiana del secondo ordine e
vengono le equazioni corrette.

Oppure basta manipolare il termine ddx x = d(dx x) - dx dx per
ottenere la solita lagrangiana (quadratica nelle derivate prime) e con
un termine d(dx x) che � una derivata totale che ha equazioni di E-L
banali.

Ora questo discorso pu� essere ripetuto in teoria dei campi, con le
dovute precisazioni (che comunque non ho messo nemmeno per il caso
sopra della meccanica).

La cosa interessante � che chi si fosse mai messo a manipolare la
lagrangiana di Einstein sa benissimo che partendo da rad(g)Rds, che �
del secondo ordine, si pu� ottenere una lagrangiana del primo ordine
facendo una banale integrazione per parti (nel senso di Stokes
ovviamente). Quindi c'� un discorso simile a quello sopra anche in RG.

La vera differenza � che mentre la lagrangiana dell'oscillatore
armonico � una buona lagrangiana (cio� � una densit� di lagrangiana)
quella di RG invece non � covariante e vale solo sull'aperto delle
coordinate. In poche parole si trasforma male per cambi di coordinate
e quindi non pu� essere usata come lagrangiana anche se si ottengono
le equazioni corrette. Per utilizzare una lagrangiana del primo ordine
in RG occorre fissare una connessione esterna e allora funziona tutto.

La trovo molto carina come cosa, si potrebbe introdurre per motivare
la scelta di certe lagrangiane in teoria dei campi... Non ho mai fatto
il conto ma per esempio potrebbe essere utile per ricavare la
lagrangiana di elettromagnetismo per esempio e poi quella di Yang
Mills assumendo le equazioni come generalizzazione di
elettromagnetismo. Ma non ho mai visto niente del genere nei corsi che
ho seguito.

Nel caso vi interessasse l'argomento un buon punto di partenza � il
Santilli, Foundations of Theoretical Mechanics. Sono due volumi e nel
secondo dovrebbe esserci la parte relativa alla teoria dei campi.
--
Ciao Neo
Received on Mon Dec 19 2011 - 12:28:50 CET

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