Il 25 Lug 2005, 16:28, foice <foice_at_N0NSPAMMAR&tiscali.it> ha scritto:
> salve a tutti.
>
> vorrei classificare delle matrici in base agli angoli di eulero delle
> rotazioni che la diagonalizzano.
premesso che non tutte le matrici sono diagonalizzate
da matrici ortogonali, e che tutte le matrici simmetriche
sono diagonalizzate da matrici ortogonali, sapresti dimostrare
che tutte le matrici diagonalizzate da matrici ortogonali sono
simmetriche?
> R = R12(theta12) * R13(theta)13 * R23(theta23)
>
> R M R^t = diag
>
> quando M ha uno spettro degenere succede che prendendo due autovettori
> di autovalori uguali si definisce un piano, e le rotazioni in quel
> piano sono ininflenti per la forma della matrice, e quindi anche per
> la sua diagonalizzazione. a questo la classificazione per angoli di
> eulero diventa arbitraria, prech�� tutti gli angoli di rotazione in
> quel piano andrebbero bene.
>
> voi che ne dite quest'angolo �� semplicemente indeterminato o cosa?
Dipende dalla matrice di diagonalizzazione. Se la rotazione applica
l'asse zeta nell'asse ortogonale all'autospazio doppiamente degenere
e un autovettore che corrisponde a questo asse �� non degenere,
allora la terza delle tre rotazioni di Eulero �� arbitraria. Altrimenti,
ponendo la dovuta attenzione ai casi limite in cui gli assi appartengono
al piano x,y, �� la prima delle tre rotazioni ad
essere indeterminata. Tuttavia esiste sempre una molteplicit��
di casi. Per esempio gli angoli di Eulero per diagonalizzare
matrici simmetriche non degeneri possono essere scelti in
sei modi differenti. Infatti se indichi con 1,2,3 tre autovettori
puoi applicare gli assi x,y,z rispettivamente in 1,2,3 oppure
in 1, -2, -3, oppure in 2,3,1 oppure in 2,-3,-1, ed infine in
3,2,1 oppure in 3,-2,-1.
Nota dilettevole: qualunque rotazione pu�� essere ottenuta
da un numero minimo di riflessioni. Quante ne sono necessarie
in tre dimensioni? In che misura sono indeterminate?
Se anzich�� ottenere le rotazioni volessi ottenere le
isometrie quante riflessioni sarebbero necessarie per
ottenere qualsivoglia isometria?
> grazie
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Received on Mon Jul 25 2005 - 19:32:22 CEST