Il 09 Lug 2005, 21:15, Elio Fabri <mc8827_at_mclink.it> ha scritto:
> Il pregio di theta e' appunto che la "composizione" delle rapidita' e'
> additiva.
>
> Percio' la tua proposta richiederebbe di usare theta al posto di v, e
> non so come andrebbero trattate le coordinate spazio-temporali.
> Vedo poi un problema passando a tre dimensioni, perche li' la
> composizione non potrebbe piu' essere additiva, visto che il gr. di L.
> tridimensionale non e' abeliano.
>
> Comunque sta a te riscrivere la RR secondo questa idea ;-)
Diro' qualcosa di assolutamente inutile ai fini di una formulazione
di una teoria degli spazi di Riemann da elementi non standard,
ma evocativa, spero di una branca applicativa concreta e presente
nel panorama matematico contemporaneo, anche, ma non solo,
in relazione con il problema della caratterizzazione delle varieta'.
Eulero aveva notato che con infiniti enti abeliani possono
dar luogo ad enti non abeliani. Shelah lavorando sui gruppi
liberi ha sviluppato un modo per trattare questa situazione.
Nel contesto di certe classi di curve, ovvero nello studio del
gruppo di monodromia delle equazioni che lo descrivono, si
trova d'altra parte la traccia di sequenze infinite di operazioni
due a due intercambiambili, ovvero commutative, il cui effetto
complessivo dipende dall'ordine di esecuzione che viene "pesato"
da una opportuna topologia che "rompe" la commutativita'.
Il pensiero corre ai numeri di Veronesi, ed agli infinitesimi di
Leibniz, ma in qualche modo possiamo sostanziare questa
divagazione e relazionarla con quanto appena accennato,
osservando che pure se due poligonali hanno lo stesso punto
finale ovviamente la forma che disegnano dipende dall'ordine
di concatenazione dei segmenti. Ora se l'occhio e' uno strumento
formidabile di confronto fra forme diverse, anche percio' la
traduzione delle sensazioni in parole e concetti univoci e
comunicabili secondo standard e convenzioni e' materia non
banale. Quello di cui ho accennato sopra e' stato fatto quasi
esclusivamente per la teoria delle superfici di Riemmann. Ovvero
per la teoria di Galois di una certa classe di equazioni
differenziali, nel solco dei primi straordinari lavori di Poincare'
sulle equazioni di Fuchs. Esiste un nesso fra le superfici di
Riemann e le varieta' di Riemann? La risposta e' molto articolata
ma non perentoriamente negativa. Ma vediamo in poche parole
di dire qualcosa circa il percorso che porta a sperare che esista
un nesso. Esiste un teorema di Gauss stabilisce un modo per
stabilire una corrispondenza fra le superfici nello spazio e
le trasformazioni conformi del piano complesso. Una intuizione
di questo teorema e' difficile, ma essenzialmente si tratta di questo:
noi sappiamo da una parte che esiste una mappa della sfera di
Riemann sul piano complesso. Sappiamo anche che ogni superfice
ammette un vettore normale ed una metrica localmente euclidea.
Se partiamo da un punto e ci spostiamo in punti vicini possiamo
costruire una mappa locale punto punto della superfice sulla sfera
di Riemann riportando le posizioni della punta del vettore. Su
questo solco e' nata una fertile attivita' di ricerca che punta ad
estendere la mappa di Gauss a situazioni piu' generali ed
a situazioni non euclidee. Infatti se il piano complesso si dimostra
effettivamente sufficiente a rappresentare metriche non euclidee a
segnatura data, piu' difficile e' sostanziare sul piano complesso le
metriche indefinite. Una delle prime rappresentazioni di metrica
non euclidea sul piano complesso si ha con le coordinate di
Kruskal Szekeres, ma esiste una difficolta' con la metrica di Lorentz
piana e con le mappe dalle superfici negli spazi di Lorentz estesi.
Esiste tuttavia un piano che e' formalmente analogo al piano di
Argand. Si tratta del cosiddetto piano di Study. I numeri di Study sono
poco conosciuti ma si costruiscono introducendo anziche' una radice
ulteriore di -1, ovvero l'unita' immaginaria, una seconda unita' il cui
quadrato e' 1. Il piano di study e' dotato spontaneamente di una metrica
pseudoeuclidea, quindi disegnarlo su un foglio di carta in questo caso
mostra un limite della nostra abilita' a "vedere" i concetti astratti.
Esistono allora nel piano di study le trasformazioni pseudo-conformi
ovvero le trasformazioni che conservano la metrica di Lorentz punto
per punto. Si trova qualcosa sui numeri di studi oltre che su varie
altre generalizzazioni del concetto di numero nel libro di Pertti
Lounesto. Esiste tuttavia a questo punto abbastanza materiale per
sospettare che una generalizzazione della mappa di Gauss porti
a stabilire una corrispondenza fra le varieta' pseudoeuclidee ed i
gruppi liberi per le famiglie di soluzioni di particolari equazioni che
generalizzano le equazioni di Fuchs. Qualcosa del genere e' sostanziato
dalla corrispondenza Ads/CFT con le sue algebre di vertice. In effetti
risulta che l'estensione del concetto di trasformazione conforme a
dimensioni maggiori di due per metriche qualsiasi semplifica
notevolmente la struttura delle trasformazioni conformi, limitando
le possibili trasformazioni conformi alla composizione di un numero
finito di movimenti isogonici (che conservano gli angoli). Questa
semplicita' farebbe apparire la struttura della CFT meno ricca di
quella delle trasformazioni conformi in due dimensioni, se non fosse
per il fatto che le singolarita' sono possibili anche in questo ambito.
Esiste allora analogamente ai gruppi di monodromia delle equazioni
fuchsiane un concetto di gruppi di monodromia per le trasformazioni
di Gauge in cui la struttura della varieta' puo' essere ricondotta a quella
delle cosiddette superfici punteggiate di Ads. (la parola inglese sarebbe
punctured che non e' proprio punteggiato, ma piu' pittorescamente
sforacchiata, o perforata) Tutto questo va di pari passo con la costruenda
teoria generale delle equazioni J-olomorfe, in cui la generalizzazione del
concetto di numero mediante l'implementazione delle proprieta'
di operazioni discrete di simmetria, diventano la base per la costruzione
dell'universo numerico. Nella misura in cui esistono classi di
universalita' indipendenti dalla particolare via costruttiva delle equazioni
sarebbero riportato in posizione centrale il ruolo delle superfici di
Riemann
per numeri complessi (che potrebbero essere solo un caso particolare,
oppure no, io in verita' non lo so), mentre e' certo che centrale e' il
ruolo
dell'aritmetica naturale pura e semplice, ovvero, se si preferisce, la
nozione generale
di categorie di Groethendieck, di gruppo libero, di prodotto fra elementi di
gruppi liberi, e lo studio dei vincoli su catene infinite, e con questi i
metodi di
classificazione basati sui gruppi infiniti di permutazione e sullo studio
del
"particolare" caso dei simplessi in dimensione finita.
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> Elio Fabri
> Dip. di Fisica - Univ. di Pisa
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Received on Thu Jul 14 2005 - 13:30:06 CEST